Внутригрупповая дисперсия

Содержание
  1. Дисперсия свойства, формула вычисления дисперсии дискретной случайной величины, виды, правило и примеры расчетов, онлайн-калькулятор
  2. Что такое дисперсия в статистике
  3. Виды дисперсии дискретной случайной величины
  4. Общая дисперсия
  5. Межгрупповая дисперсия
  6. Взаимосвязь
  7. Свойства дисперсии
  8. Показатели вариаций
  9. Пример расчета дисперсии
  10. Заключение
  11. Важнейшие математические свойства дисперсии, Общая, межгрупповая и внутригрупповая дисперсия, дисперсия альтернативных признаков — Статистика Библиотека русских учебников
  12. 532 Общая, межгрупповая и внутригрупповая дисперсия
  13. 533 Дисперсия альтернативных признаков
  14. Дисперсия, виды и свойства дисперсии
  15. Пример нахождения дисперсии
  16. Виды дисперсии
  17. Правило сложения дисперсии в статистике
  18. Дисперсия — свойства, виды и формулы
  19. Внутригрупповая дисперсия
  20. Дисперсия формула: выборочная математическая статистика с примерами решения
  21. Пример 1
  22. Пример 2
  23. Пример 3
  24. Пример 4
  25. Пример 5
  26. Пример 6
  27. Пример 7
  28. Пример 8
  29. Пример 9
  30. Пример 10
  31. Пример 11
  32. Пример 12
  33. Как найти дисперсию?
  34. ролики: что такое дисперсия и как найти дисперсию

Дисперсия свойства, формула вычисления дисперсии дискретной случайной величины, виды, правило и примеры расчетов, онлайн-калькулятор

Внутригрупповая дисперсия

В различных научных дисциплинах словосочетание «дисперсия это» характеризует мало схожие понятия. С латыни «dispersio» переводится как «рассеяние».

В физике, например, означает связь фазовой скорости волны с частотой. В химии описывает несмешиваемые субстанции. В биологии – многообразие признаков популяции.

В данной статье речь пойдет о математической трактовке. Рассматривается как одно из свойств случайных величин.

Что такое дисперсия в статистике

Статистика, в частности, оперирует рядами данных, характеризующих какой-либо признак, явление. Интересует их изменение.

Вариация представляет собой отличие величин одинакового показателя у разных предметов. Ее изучение позволит понять причины отклонений от нормы, анализировать их и в какой-то мере прогнозировать. Также станет возможным выявить факторы, влияющие на значения, отсеяв случайные.

Характеристики равномерного распределения представлены на картинке:

При значительном объеме статистики, средняя величина очевидно близка к нормальной. Об этом говорят и законы распределения. Отклонения от нее будут являться объективной характеристикой.

Только вот отрицательные значения этих разбросов будут сбивать с толку при расчетах, погашая положительные. А оставлять лишь модули – для математика не корректно. Напрашивается возвести в четную степень, а именно – во вторую.

Решение оказалось не только удобным. Оно открыло бо́льшие возможности в изучении отклонений. А важны именно они, поскольку сама по себе средняя мало что дает.

В качестве одного из важных показателей вариации, вводится понятие «дисперсия» – усредненный квадрат отклонений численных значений каких-либо событий от средней величины. 

Кратко записывается D[X] в русскоязычных источниках и Var[X] (от «variance») в английских. В статистических выкладках используется σ2.

Никакого наглядного смысла величина не несет. Другое дело, среднее квадратическое отклонение – корень квадратный из дисперсии.

Виды дисперсии дискретной случайной величины

Для анализа данных цифр в таком виде недостаточно. Гораздо больше можно выжать из последовательности, если разбить ее на группы по определенному признаку.

Общая дисперсия

Как можно заметить, вычисленная по приведенному выше определению величина характеризует отклонения в целом. Без учета определяющих вариацию факторов. Вернее, с учетом всех, включая совершенно случайные. Поэтому и называется «общей» и рассчитывается по формулам, указанным ниже.

Простая дисперсия, без разделения на группы:

Или в несколько преобразованном виде:

Взвешенная дисперсия, для вариационного ряда:

где xi – значение из ряда;

fi – частота, количество повторений;

k – групп;

n – число вариантов.

Черта сверху указывает на среднюю величину.

Межгрупповая дисперсия

Характеризует систематическое отклонение, возникающее из-за фактора, по которому производилось выделение признаков в группы. Поэтому также называется «факторной». 

Как найти данную дисперсию? По формуле:

где k – количество групп;

nj – элементов в группе с индексом j.

Возникает по хаотичной причине, не связанной с причиной сделанной выборки. Неучтенный фактор. Еще обозначается как «остаточная».

Например, рассматривается количество выпущенных деталей за месяц каждым фрезеровщиком цеха. 

В качестве критерия отбора в группу выбираем возраст оборудования. Он-то и не будет влиять на производительность внутри подборки: там станки у всех практически одинаковые.

Если вычислить среднюю величину от всех групповых,

то получим характеристику случайного разброса. Иными словами, составляющую вариации, зависящую от чего угодно, кроме фактора отбора.

Взаимосвязь

В соответствии с правилом сложения, общая D[X] включает средние выражения остаточной и факторной. И это логично, поскольку учитывает и случайное изменение в группе, и систематическое в факторной.

Свойства дисперсии

Опишем основные:

  • Если последовательность состоит из одинаковых чисел, то D[X] будет нулевой.

  • Уменьшение всех значений на постоянную величину на дисперсию не влияет. Иначе говоря, рассчитать σ2 можно по отклонениям от фиксированного числа.

  • Уменьшение всех цифр в k раз приведет к падению D[X] в k2 раз. Можно, например, иметь в виду значения в метрах, а результат вычислить в футах. Достаточно учесть один раз то, на что следует умножить.

  • Средний квадрат отклонений от постоянной величины X отличается в большую сторону от того же с использованием среднего значения. Разница составит (Xcр – X)2.

  • Показатели вариаций

    Кроме размаха (разницы максимального и минимального значений), среднего линейного и дисперсии, изменения описываются коэффициентом вариации:

    Оценить масштаб разброса проще по относительной величине. Тем более, что измеряются в одних единицах.

    Пример расчета дисперсии

    Компания объявила конкурсный отбор для приема сотрудников. В качестве критерия принят стаж работы по специальности. Приведем исходные данные и расчеты.

    Усредненный стаж:

    Дисперсия:

    По альтернативной формуле:

    Среднеквадратическое:

    Коэффициент вариации:

    Заключение

    Статистика оперирует значительными объемами данных. Вариация, как одно из основных понятий – не исключение. И дисперсия в качестве основной характеристики. 

    Для упрощения расчетов существует масса онлайн калькуляторов. Имеется упомянутый инструмент в MS Excel.

    ПредыдущаяСледующая

    Источник: https://Sprint-Olympic.ru/uroki/algebra/78073-dispersiia-svoistva-formyla-vychisleniia-dispersii-diskretnoi-slychainoi-velichiny-vidy-pravilo-i-primery-raschetov-onlain-kalkyliator.html

    Важнейшие математические свойства дисперсии, Общая, межгрупповая и внутригрупповая дисперсия, дисперсия альтернативных признаков — Статистика Библиотека русских учебников

    Внутригрупповая дисперсия

    Статистика Статистика Предыдущая СОДЕРЖАНИЕ Следующая

    Зная математические свойства дисперсии, можно упростить вычисления ее величины. Рассмотрим их

    1. Если из всех значений вариант отнять постоянное число. А, то величина дисперсии не изменится

    . СТ ( *-А) = .

    Таким образом, средний квадрат отклонений можно вычислить не по величинам вариант, а по отклонению их от какого-то постоянного

    гг2 = гг2

    числа, т.е.( 'o-. Ау

    2. Если значение вариант разделить на постоянное число. А, то величина дисперсии уменьшится в. А2, а среднее квадратическое отклонение в. А раз:

    у = в2:. А1.

    (7)

    Из этого следует, что все варианты можно разделить на любое постоянное число, вычислить среднее квадратическое отклонение, затем

    а2 = ог. А2

    умножить его на это постоянное число А

    3. Если вычислить средний квадрат отклонений от любой величины (А), отличающийся в той или иной степени от средней (х), то величина его будет больше среднего квадрата отклонений, исчисленного относительно средней (о л2)

    Полученное превышение равна квадрату разницы между средней и условно взятой величине, т.е.1 х -А /2. Это все можно представить в такой записи:

    а2А = а2 (~ х -. А)2 или а2А = а2 — (х -. А)

    Рассмотрена свойство среднего квадрата отклонений позволяет сделать вывод о том, что дисперсия средней ( ст2) всегда

    2

    меньше дисперсии, вычисленные от любых других величина д, то есть она имеет свойство минимальности

    4. Дисперсия постоянной величины равна нулю (» ' ~0). Это свойство следует из того, что дисперсия является показателем рассеяния вариант вокруг средней арифметической, а средняя арифметическая постоянной величины равна этой величине

    Ряд свойств дисперсии основывается на равенстве °= х ~( х) , есть дисперсия равна разнице между средней арифметической квадратов вариант и квадратом средней арифметической

    532 Общая, межгрупповая и внутригрупповая дисперсия

    Если все значения признака статистической совокупности (генеральной или выборочной) разделить на несколько групп и рассматривать каждую из них как самостоятельную (отдельную) совокупность, то возникает необходимость вычисления трех видов дисперсий: общей, межгрупповой и внутригрупповой.

    . Общая дисперсия — это средний квадрат отклонений значений признаков всей совокупности относительно общего среднего

    межгрупповых дисперсия — это средний квадрат отклонений групповых средних относительно общего среднего

    внутригрупповых дисперсия — это средняя арифметическая частных (групповых) дисперсий, взвешенная объемам групп

    В таблице 27 приведен структурные формулы вычисления названных видов дисперсий

    . Таблица 27

    . Формулы для вычисления дисперсий

    . Пример. По данным урожайности зерновых культур 57 предприятий определить общую, межгрупповую и внутригрупповой дисперсии, образовав семь групп предприятий по уровню урожайности

    Для вычисления общей дисперсии необходимо построить дискретный ряд распределения (табл. 28)

    По расчетным данным этого статистического ряда определяем

    среднюю арифметическую (х) и величину общей дисперсии ( за '-):

    -. Ихпг 15355″2 I (хг-х)2 пи 139906″»

    х = — = — = 269; а. ШГ = —- = — = 245

    . И, пи 57. И, пи 57

    . Таблица 28

    . Выходные и расчетные данные для вычисления общей дисперсии __ (дискретный ряд)_

    ВариантахіЧастота піРасчетные данные
    х и пхі — Х(ХІ — Х) 2(Хі — х)2 щ
    17,5117,5-9,488,3688,36
    17,6235,2-9,386,49172,98
    36,23108,69,386,49259,47
    37,6275,210,7114,49228,98
    Вместе571535,3XX1399,06

    Для определения межгрупповой дисперсии необходимо вычислить групповые

    средние (хі) и найти общий объем их варьирования относительно общего среднего (И (хи — х)2 N). По расчетным данным таблице 29 определяем размер межгруппового дисперсии:

    . Таблица 29

    . Выходные и расчетные данные для вычисления межгрупповой дисперсии

    Интервал (группа)Средняя по группеОбъем группРасчетные данные
    х] — X — х)2 (х, — х)2
    17,5-20,518,99-8,064,00576,0
    20,5-23,521,96-6,025,0150,0
    23,5-26,525,49-1,52,2520,3
    26,5-29,528,2131,31,6922,0
    29,5-32,530,8153,915,21228,0
    32,5-35,534,037,150,41151,2
    35,5-38,536,9210,0100,00200,0
    ВместеX57XX1347,5

    Чтобы определить внутригрупповой дисперсии, необходимо рассчитать частичные дисперсии в разрезе семи групп. Имея групповые средние|Х] |, находим

    в и

    по каждой группе соответствующую частичную дисперсию и' 1. По данным примера,

    (гг2 (Т2 (Т2 (Т2 )

    рассматривается, необходимо вычислить семь таких дисперсий( 1, 11, 111 г п). Необходимые промежуточные данные для их вычисления приведены в. Таблица 30

    . Таблица 30

    . Выходные и расчетные данные для вычисления внутригрупповой дисперсии (расчет частных дисперсий) (')

    Интервал (группа)ВариантахіЧастота пРасчетные данные
    ~ хи(Х1 — X]) 2 Па
    17,5-20,517,5117,5-141,961,96
    ( хи = 18,9)17,6235,2-131,693,38Б (х; — хи)2 п
    ВсегоX9170,0XX9,05905 10= 9
    355-38,536,2I36,2-070,490,49
    (- 369)37,6I37,6070490,40И (х, —х РШ )2 пі
    ВсегоX273,8XX0,98 == 098 = 0,49 2

    . Начала вычислений частных дисперсий предшествует расчет групповых

    _ их- _ 170

    средних(Хі). . Так, для первого интервала9 = 18,9. Аналогично

    рассчитываем средние для других групп. Затем находим отдельные дисперсии °і, величины которых составляют:а и= 1,0; = 0,43; а гл = 1,12; . Сиу = 068; °у = 109; у ги — 0,58; суп 0,49 (последовательность расчета показано только для первого и седьмого интервалов)

    . Имея вычисленные значения частных дисперсий, находим величину внутригрупповой дисперсии:

    в 2= о). Х1 + о]1Па + . Ощиищ+… + о2ш т = ** N N1. Жш. И N, 1,

    _1 х 9 043 х 6 112 х 9 068х 13 109х 15 058 х 3 049 х2 _ 4957 _0 87 0 9 9 6 9 13 15 3 2 '57 ~. ~.

    . Согласно правила составления дисперсий, которое вытекает из доказательства, если совокупность состоит из нескольких групп, то общая дисперсия равна сумме внутригрупповой и межгрупповой дисперсий, имеем:

    в2 = в2 + в2 = 23,6 0,9 = 24,5

    общ«игр вгр '' '

    . По ранее приведенным расчетам, величина общей дисперсии за! равна 24,5, что подтверждает верность выполненных вычислений

    Теоретический и практический интерес правила сложения дисперсий заключается в том, что, зная две величины дисперсии, на основе приведенной равенства всегда можно найти третью. Например:

    222 сг = о-о

    вгр гаг жгр

    Имея величины межгрупповой и общей дисперсий, можно иметь представление о силе воздействия группировочного признаки. Об этом речь пойдет при изучении вопросов корреляционного и дисперсионного методов анализа

    533 Дисперсия альтернативных признаков

    Прежде чем рассмотреть вопрос о дисперсии альтернативных признаков, следует напомнить, что во альтернативному признаку понимают такой признак, которым одни варианты наделены, а вторые — нет. Так, если в выборке, которая с состоит из п единиц ип»единиц, наделенных данному признаку, то их доля

    п»

    № = —

    п

    Расчет общей, межгрупповой и внутригрупповой дисперсий для альтернативных признаков представленный формулами в таблице 31

    . Таблица 31

    _. Формулы вычисления дисперсий для альтернативных признаков_

    Вид дисперсииФормулаПримечание
    Общаяа1, = и (1 И)і — доля единиц наделенных данному признаку
    межгрупповых сг2и — доля единиц, наделенных данному признаку в i-й группе
    п — число единиц в i — й группе
    внутригрупповых2 Тыі (1 — иі1) п Ъп1п — объем выборки и, = и)

    Рассмотрим последовательность расчета названных видов дисперсий на конкретном примере. В таблице 32 представлена ??выборка 60 предприятий, распределенных по производственным типом на две группы с объемомп каждой и выделением альтернативной признаки — количества убыточных предприятий ()

    Подставляя расчетные данные таблицы 32 в формулы соответствующих видов дисперсий, получим:

    а и =№ (1 — и) = 0,233 / 1 — 0,233 / = 0,179; а2 =І (и, -1)2 п, = 0,134= 0,002;

    мі 60

    2 (1 ~1,)п, 10,6

    = —-: — = 0,177

    = 60

    таблице 32

    . Выходные и расчетные данные для вычисления дисперсий

    Число Расчетные данные
    ГруппаОбъем групппединиц вгруппе, наделенныхданному признаку, п»п»И[ = —пИ = (1 — И1 )И (1 — а) пИ — и(И — И)2И — а)2 п
    I4080,2000,166,4-0,030,00090,036
    П2060,3000,214,20,070,00490,098
    Всего60140,233 (14:60)X10,6XX0,134

    Основываясь на правиле сложения дисперсий, имеем:

    = ° 1 а потому 0,179 = 0,002 0,177; 0,179 = 0,179

    Среднее квадратическое отклонение альтернативной признаки в

    данном случае легко найти путем извлечения корня с в»

    есть: ° = / — №) = / 0 179 = 042.

    Предыдущая СОДЕРЖАНИЕ Следующая

    Источник: http://uchebnikirus.com/statistika/statistika_-_oprya_at/nayvazhlivishi_matematichni_vlastivosti_dispersiyi.htm

    Дисперсия, виды и свойства дисперсии

    Внутригрупповая дисперсия

    Дисперсия в статистике находится как среднее квадратическое отклонение индивидуальных значений признака в квадрате от средней арифметической. В зависимости от исходных данных она определяется по формулам простой и взвешенной дисперсий:

    1. Простая дисперсия (для несгруппированных данных) вычисляется по формуле:

    2. Взвешенная дисперсия (для вариационного ряда):

    где n — частота (повторяемость фактора Х)

    Пример нахождения дисперсии

    На данной странице описан стандартный пример нахождения дисперсии, также Вы можете посмотреть другие задачи на её нахождение

    Пример 1. Имеются следующие данные по группе из 20 студентов заочного отделения. Нужно построить интервальный ряд распределения признака, рассчитать среднее значение признака и изучить его дисперсию

    Построим интервальную группировку. Определим размах интервала по формуле:

    где X max– максимальное значение группировочного признака;X min–минимальное значение группировочного признака;

    n – количество интервалов:

    Принимаем n=5. Шаг равен: h = (192 — 159)/ 5 = 6,6

    Составим интервальную группировку

    Для дальнейших расчетов построим вспомогательную таблицу:

    X’i– середина интервала. (например середина интервала 159 – 165,6 = 162,3)

    Среднюю величину роста студентов определим по формуле средней арифметической взвешенной:

    Определим дисперсию по формуле:

    Пример 2. Определение групповой, средней из групповой, межгрупповой и общей дисперсии

    Пример 3. Нахождение дисперсии и коэффициента вариации в группировочной таблице

    Пример 4. Нахождение дисперсии в дискретном ряду

    Формулу дисперсии можно преобразовать так:

    Из этой формулы следует, что дисперсия равна разности средней из квадратов вариантов и квадрата и средней.

    Дисперсия в вариационных рядах с равными интервалами по способу моментов может быть рассчитана следующим способом при использовании второго свойства дисперсии (разделив все варианты на величину интервала). Определении дисперсии, вычисленной по способу моментов, по следующей формуле менее трудоемок:

    где i — величина интервала;А — условный ноль, в качестве которого удобно использовать середину интервала, обладающего наибольшей частотой;m1 — квадрат момента первого порядка;

    m2 — момент второго порядка

    Дисперсия альтернативного признака (если в статистической совокупности признак изменяется так, что имеются только два взаимно исключающих друг друга варианта, то такая изменчивость называется альтернативной) может быть вычислена по формуле:

    Подставляя в данную формулу дисперсии q =1- р, получаем:

    Виды дисперсии

    Общая дисперсия измеряет вариацию признака по всей совокупности в целом под влиянием всех факторов, обуславливающих эту вариацию. Она равняется среднему квадрату отклонений отдельных значений признака х от общего среднего значения х и может быть определена как простая дисперсия или взвешенная дисперсия.

    Внутригрупповая дисперсия характеризует случайную вариацию, т.е.

    часть вариации, которая обусловлена влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки.

    Такая дисперсия равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака внутри группы X от средней арифметической группы и может быть вычислена как простая дисперсия или как взвешенная дисперсия.

    Таким образом, внутригрупповая дисперсия измеряет вариацию признака внутри группы и определяется по формуле:

    где хi — групповая средняя;
    ni — число единиц в группе.

    Например, внутригрупповые дисперсии, которые надо определить в задаче изучения влияния квалификации рабочих на уровень производительности труда в цехе показывают вариации выработки в каждой группе, вызванные всеми возможными факторами (техническое состояние оборудования, обеспеченность инструментами и материалами, возраст рабочих, интенсивность труда и т.д.), кроме отличий в квалификационном разряде (внутри группы все рабочие имеют одну и ту же квалификацию).

    Средняя из внутри групповых дисперсий отражает случайную вариацию, т. е. ту часть вариации, которая происходила под влиянием всех прочих факторов, за исключением фактора группировки. Она рассчитывается по формуле:

    Межгрупповая дисперсия характеризует систематическую вариацию результативного признака, которая обусловлена влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки. Она равняется среднему квадрату отклонений групповых средних от общей средней. Межгрупповая дисперсия рассчитывается по формуле:

    Правило сложения дисперсии в статистике

    Согласно правилу сложения дисперсий общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповых дисперсий:

    Смысл этого правила заключается в том, что общая дисперсия, которая возникает под влиянием всех факторов, равняется сумме дисперсий, которые возникают под влиянием всех прочих факторов, и дисперсии, возникающей за счет фактора группировки.

    Пользуясь формулой сложения дисперсий, можно определить по двум известным дисперсиям третью неизвестную, а также судить о силе влияния группировочного признака.

    Дисперсия — свойства, виды и формулы

    Внутригрупповая дисперсия

    В различных научных дисциплинах словосочетание «дисперсия это» характеризует мало схожие понятия. С латыни «dispersio» переводится как «рассеяние».

    В физике, например, означает связь фазовой скорости волны с частотой. В химии описывает несмешиваемые субстанции. В биологии – многообразие признаков популяции.

    В данной статье речь пойдет о математической трактовке. Рассматривается как одно из свойств случайных величин.

    Внутригрупповая дисперсия

    Возникает по хаотичной причине, не связанной с причиной сделанной выборки. Неучтенный фактор. Еще обозначается как «остаточная».

    Например, рассматривается количество выпущенных деталей за месяц каждым фрезеровщиком цеха. 

    В качестве критерия отбора в группу выбираем возраст оборудования. Он-то и не будет влиять на производительность внутри подборки: там станки у всех практически одинаковые.

    Если вычислить среднюю величину от всех групповых,

    то получим характеристику случайного разброса. Иными словами, составляющую вариации, зависящую от чего угодно, кроме фактора отбора.

    Дисперсия формула: выборочная математическая статистика с примерами решения

    Внутригрупповая дисперсия

    Разность называется отклонением случайной величины А от ее математического ожидания М(Х). Математическое ожидание отклонения равно нулю:

    Дисперсией, или рассеянием, случайной величины X называется математическое ожидание квадрата ее отклонения:

    Из определения и свойств математического ожидания следует, чтс дисперсия любой случайной величины неотрицательна, т.е.

    Для вычисления дисперсии применяется формула

    По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теории вероятности:

    Предмет теория вероятности

    Дисперсия случайной величины обладает следующими свойствами:

    1. Дисперсия постоянной величины равна нулю:

    2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

    4. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

    5. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

    Возможно вам будут полезны данные страницы:

    Замечание.

    Свойство 3 распространяется на п независимых случайных величин:

    Дисперсия дискретной случайной величины с законом распределения

    определяется формулой

    или формулой

    где

    — другое обозначение для математического ожидания. Этим обозначением будем пользоваться и в дальнейшем, в зависимости от обстоятельств.

    Если дискретная случайная величина принимает бесконечную по-следовательность-значений с законом распределения

    то ее дисперсия определяется формулой

    при условии, что этот ряд сходится.

    Дисперсия непрерывной случайной величины X, все значения которой принадлежат отрезку определяется формулой

    где р(х) — плотность распределения вероятностей этой величины, — ее математическое ожидание.

    Дисперсию можно вычислять по формуле

    Дисперсия непрерывной случайной величины X, все значения которой принадлежат отрезку , определяется формулой

    если этот несобственный интеграл сходится.абсолютно.

    Средним квадратическим отклонением, или стандартным отклонением, случайной величины X называется корень квадратный из ее дисперсии:

    Это определение имеет смысл, поскольку выполнено условие (2.5.3).

    Пример 1

    Доказать формулы (2.5.1) и (2.5.4).

    Решение:

    Так как математическое ожидание М(Х) — постоянная величина, математическое ожидание постоянной равно этой постоянной, математическое ожидание разности случайных величин равно разности их математических ожиданий, то

    равенство (2.5.1) доказано.

    Учитывая свойства математического ожидания, получаем

    равенство (2.5.4) доказано.

    Пример 2

    Доказать равенства (2.5.5) — (2.5.8).

    Решение:

    Принимая во внимание определение дисперсии и тот факт, что математическое ожидание постоянной равно этой постоянной, получаем

    Из определения дисперсии и свойств математического ожидания следует, что

    Для доказательства формулы (2.5.8) воспользуемся формулой (2.5.4):

    Равенство (2.5.8) следует из формул (2.5.6) и (2.5.7):

    Пример 3

    Дискретная случайная величина X имеет закон распределения

    Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X.

    Решение:

    По формуле (2.4.3) находим

    Запишем закон распределения квадрата отклонения этой величины, т.е. величины

    По формуле (2.5.10) получаем

    В соответствии с формулой (2.5.16) находим среднее квадратическое отклонение

    Замечание. Дисперсию можно вычислить и по формуле (2.5.4). Найдем для этого математическое ожидание квадрата случайной величины X, предварительно записав закон распределения случайной величины X2;

    По формуле (2.4.3) находим

    В соответствии с формулой (2.5.4) находим

    Пример 4

    Закон распределения дискретной случайной величины X задан таблицей

    Вычислить дисперсию случайной величины X по формуле (2.5.4) и по формуле (2.5.10).

    Решение:

    Сначала найдем математическое ожидание случайной величины:

    Запишем закон распределения случайной величины

    и найдем дисперсию случайной величины Xпо формуле (2.5.10):

    Квадрат случайной величины X, т.е. X2 — это новая случайная величина, которая с теми же вероятностями, что и случайная величина X, принимает значения, равные квадратам ее значений.

    Квадраты значений случайной величины X равны: ,, т.е. величина принимает значения Закон распределения случайной величины X2 можно записать в виде:

    Вероятность 0,4 для значения получена по теореме сложения вероятностей, с которыми случайная величина X принимает значения -1 и 1. Аналогично получена вероятность 0,2 для значения

    По формуле (2.4.3) находим

    Следовательно, по формуле (2.5.4) имеем

    Пример 5

    Симметричная монета подбрасывается 4 раза. Случайная величина X- «число выпадений герба при этих подбрасываниях». Найти числовые характеристики случайной величины

    Решение:

    Данная дискретная случайная величина X может принимать пять значений: .

    Закон распределения случайной величины X можно задать таблицей Находим математическое ожидание

    Закон распределения случайной величины имеет вид:

    Вычислим дисперсию и среднее квадратическое отклонение :

    Пример 6

    Найти дисперсию дискретной случайной величины X -числа очков, выпадающих при подбрасывании игрального кубика.

    Решение:

    Запишем сначала закон распределения этой случайной величины в виде таблицы

    Найдем математические ожидания :

    Дисперсию вычислим по формуле (2.5.4):

    Пример 7

    Даны все возможные значения дискретной случайной величины а также известны Найти закон распределения случайной величины X

    Решение:

    Запишем законы распределения дискретных случайных величин X и X2.

    где пока неизвестны, причем Используя условие, получаем систему двух уравнений с тремя неиз-вестными

    Поскольку то система уравнений принимает вид

    откуда . Поэтому

    Итак, закон распределения случайной величины X определяется таблицей

    Пример 8

    Дискретная случайная величина X может принимать только два значения , причем . Известны вероятность математическое ожидание и дисперсия Найти закон распределения дискретной случайной вели-чиньгЛ.

    Решение:

    Поскольку (см. формулу (2.1.2)) и то откуда . По формуле (2.5.12) находим

    Решая систему уравнений

    и учитывая условие получаем Следовательно,

    Пример 9

    Найти числовые характеристики непрерывной случайной величины X, заданной плотностью распределения

    Решение:

    Сначала находим М(Х) по формуле (2.4.7):

    В соответствии с формулой (2.5.13) найдем D(X) :

    По формуле (2.5.16) находим

    Пример 10

    Найти числовые характеристики непрерывной случайной величины X, заданной плотностью вероятностей

    Решение:

    С помощью формулы (2.4.7) находим математическое ожидание:

    По формулам (2.5.13) и (2.5.16) соответственно получаем

    Пример 11

    Случайная величина X задана функцией распределения

    Найти числовые характеристики случайной величины

    Решение:

    Сначала найдем плотность распределения р(х) с помощью формулы (2.3.5). Так как , то

    По формуле (2.4.7) вычисляем математическое ожидание:

    В соответствии с формулами (2.5.13) и (2.5.16) находим дисперсию и среднее квадратическое отклонение:

    Пример 12

    Независимые случайные величины имеют одинаковые распределения, для них

    при Найти числовые характеристики среднего арифметического этих случайных величин, т.е. случайной величины

    Решение:

    С учетом формулы (2.4.13) и условия (I) находим

    т.е. математическое ожидание среднего арифметического п независимых одинаково распределенных случайных величин равно математическому ожиданию каждой из этих величин.

    Учитывая формулы (2.5.6), (2.5.9) и условие (I), получаем

    т.е. дисперсия среднего арифметического п независимых одинаково распределенных случайных величин в л раз меньше дисперсии каждой из этих величин.

    Учитывая определение и условие (I), находим

    Таким образом, среднее квадратическое отклонение среднего арифметического n независимых одинаково распределенных случайных величин в раз меньше среднего квадратического отклонения каждой величины.

    Источник: https://natalibrilenova.ru/dispersiya-formula/

    Как найти дисперсию?

    Внутригрупповая дисперсия

    Добавьте в закладки

    Дисперсия — это мера разброса значений случайной величины $X$ относительно ее математического ожидания $M(X)$ (см. как найти математическое ожидание случайной величины).

    Дисперсия показывает, насколько в среднем значения сосредоточены, сгруппированы около $M(X)$: если дисперсия маленькая — значения сравнительно близки друг к другу, если большая — далеки друг от друга (см.

    примеры нахождения дисперсии ниже).

    Если случайная величина описывает физические объекты с некоторой размерностью (метры, секунды, килограммы и т.п.), то дисперсия будет выражаться в квадратных единицах (метры в квадрате, секунды в квадрате и т.п.).

    Ясно, что это не совсем удобно для анализа, поэтому часто вычисляют также корень из дисперсии — среднеквадратическое отклонение $\sigma(X)=\sqrt{D(X)}$, которое имеет ту же размерность, что и исходная величина и также описывает разброс.

    Еще одно формальное определение дисперсии звучит так: «Дисперсия — это второй центральный момент случайной величины» (напомним, что первый начальный момент — это как раз математическое ожидание).

    Нужна помощь? Решаем теорию вероятностей на отлично

    Дисперсия случайной величины Х вычисляется по следующей формуле:$$D(X)=M(X-M(X))2, $$которую также часто записывают в более удобном для расчетов виде:$$D(X)=M(X2)-(M(X))2.$$

    Эта универсальная формула для дисперсии может быть расписана более подробно для двух случаев.

    Если мы имеем дело с дискретной случайной величиной (которая задана перечнем значений $x_i$ и соответствующих вероятностей $p_i$), то формула принимает вид:$$D(X)=\sum_{i=1}{n}{x_i2 \cdot p_i}-\left(\sum_{i=1}{n}{x_i \cdot p_i} \right)2.

    $$Если же речь идет о непрерывной случайной величине (заданной плотностью вероятностей $f(x)$ в общем случае), формула дисперсии Х выглядит следующим образом:$$D(X)=\int_{-\infty}{+\infty} f(x) \cdot x2 dx — \left( \int_{-\infty}{+\infty} f(x) \cdot x dx \right)2.$$

    ролики: что такое дисперсия и как найти дисперсию

    Если вам нужно более подробное объяснение того, что такое дисперсия, как она вычисляется и какими свойствами обладает, рекомендую два видео (для дискретной и непрерывной случайной величины соответственно).

    Спасибо за ваши закладки и рекомендации

    Не забывайте сначала прочитать том, как найти математическое ожидание. А тут можно вычислить также СКО: Калькулятор математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения.

    Что еще может пригодиться? Например, для изучения основ теории вероятностей — онлайн учебник по ТВ. Для закрепления материала — еще примеры решений задач по теории вероятностей.

    А если у вас есть задачи, которые надо срочно сделать, а времени нет? Можете поискать готовые решения в решебнике или заказать в МатБюро:

    Статьи и калькуляторы по теории вероятностей

    Источник: https://www.MatBuro.ru/tvart_sub.php?p=art_disp

    Все термины
    Добавить комментарий

    ;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: