Коэффициент корреляции

Содержание
  1. Корреляционный анализ
  2. Функциональная зависимость и корреляция
  3. Условия, при которых возможен расчет коэффициента корреляции Пирсона:
  4. Коэффициент корреляции Спирмена (rS)
  5. Свойства оценок коэффициентов корреляции
  6. Геометрическая интерпретация коэффициента корреляции
  7. Значимость коэффициента корреляции
  8. Литература
  9. Линейный коэффициент корреляции Пирсона
  10. Выборочный коэффициент корреляции
  11. Как посчитать коэффициент корреляции в Excel
  12. Расчет доверительного интервала для коэффициента корреляции в Excel
  13. Несколько важных замечаний
  14. Тема: КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ
  15. Необходимо знать:
  16. Контрольные вопросы:
  17. Информационный блок
  18. Метод определения коэффициента ранговой корреляции или метод рангов, или метод Спирмена (по автору):
  19. Метод квадратов (Пирсона) вычисления коэффициента корреляции.
  20. Эталон решения
  21. пример. влияние введения раннего прикорма
  22. задачи для самостоятельного решения
  23. ВОПРОСЫ ДЛЯ ТЕСТОВОГО КОНТРОЛЯ
  24. Критические значения коэффициента корреляции rxy
  25. Критические значения Х2
  26. Коэффициент корреляции в Excel: что это, как рассчитать? Формула, пример, анализ данных онлайн
  27. Для чего нужен коэффициент корреляции?
  28. Свойства коэффициента корреляции
  29. Значения коэффициента корреляции
  30. Пошаговый расчет коэффициента корреляции в Excel
  31. Что такое Корреляция
  32. Корреляционный анализ
  33. Коэффициент корреляции Пирсона (Pearson)
  34. Метод 1) Расчет коэффициента корреляции Пирсона с использованием ковариации и стандартного отклонения
  35. Метод 2) Расчет коэффициента корреляции Пирсона с исходными данными (без ковариации или стандартного отклонения)
  36. Коэффициент корреляции Спирмена
  37. Как считать коэффициент корреляции Спирмена
  38. Линейная регрессия
  39. Простая линейная регрессия

Корреляционный анализ

Коэффициент корреляции

Корреляционный анализ – раздел математической статистики, исследующий зависимости между двумя или более случайными величинами. Термин «Correlation» означает взаимосвязь, взаимоотношение.

Функциональная зависимость и корреляция

Еще Гиппократ обратил внимание на то, что между телосложением и темпераментом людей, между строением их тела и предрасположенностью  к заболеваниям существует определенная взаимосвязь.

В области физической культуры и спорта можно привести много примеров такой взаимосвязи. Например, от уровня силы во многом зависит результат, показанный спортсменом в таких видах спорта, как тяжелая атлетика, пауэрлифтинг, гиревой спорт, метание диска и толкание ядра и т.д.

  Результат в беге на 100 м во многом зависит от процента содержания в мышцах спортсменов быстрых мышечных волокон (II типа).  Доказано, что у выдающихся спринтеров этот показатель превышает 80%.

  Чтобы определить, насколько сильна взаимосвязь между переменными (признаками) используется корреляционный анализ.

Две случайные величины X и Y могут быть:

  • связаны функциональной зависимостью (жестко, как зависимость переменных в математическом анализе);
  • независимыми;
  • связаны стохастической (вероятностной зависимостью) при которой изменение одной величины влечет изменение распределения другой.

В качестве меры связи между случайными величинами используется коэффициент корреляции. Коэффициент корреляции для генеральной совокупности обозначается ρ. Однако, как правило, он неизвестен.

Поэтому он оценивается по экспериментальным данным, представляющим выборку объема n, полученную при совместном измерении двух переменных (признаков) X и Y. Коэффициент корреляции, определяемый по выборочным данным называется выборочным коэффициентом корреляции (или просто коэффициентом корреляции). Его принято обозначать символом r.

Наиболее часто в качестве оценок генерального коэффициента корреляции используется коэффициент корреляции Пирсона (r) и коэффициент корреляции Спирмена (rs).

Условия, при которых возможен расчет коэффициента корреляции Пирсона:

  1. Экспериментальные данные должны быть представлены в только в интервальной шкале или шкале отношений.
  2. Распределение экспериментальных данных подчиняется нормальному закону.
  3. Предполагается линейная зависимость между случайными величинами X и Y.

Коэффициент корреляции Спирмена (rS)

При расчете коэффициента корреляции Спирмена требования к исходным данным менее строгие, а именно:

  1. Данные могут быть представлены в порядковой, интервальной шкале или шкале отношений.
  2. Допускается любой закон распределения случайных величин X и Y.
  3. Между случайными величинами X и Y должна существовать монотонно-возрастающая или монотонно-убывающая зависимость.

Свойства оценок коэффициентов корреляции

Рассчитанные коэффициенты корреляции могут принимать значения от -1 до +1.

  1. Если коэффициент корреляции равен: r =+1 и r = -1, это означает, что случайные величины X и Y связаны жесткой линейной зависимостью.
  2. Если r ≠ 0, то чем ближе |r| к единице, тем сильнее линейная зависимость случайных величин X и Y.
  3. Если коэффициент корреляции положительный (r > 0) – это означает, что между случайными величинами X и Y существует положительная корреляция (или другими словами положительная корреляционная зависимость). Примером положительной корреляционной зависимости является увеличение результата прыжка в длину с увеличением силы мышц ног (рис.1А).
  4. Eсли коэффициент корреляции отрицательный (r < 0) – это означает, что между случайными величинами X и Y существует отрицательная корреляция (или другими словами отрицательная корреляционная зависимость). Примером отрицательной корреляционной зависимости является уменьшение результата пробегания 100 м с увеличением силы мышц ног (рис. 1Б)
  5. Если коэффициент корреляции равен нулю (r = 0) – это означает, что корреляции нет; случайные величины X и Y некоррелированы (рис. 1В). Другими словами, это означает, что между случайными величинами X и Y нет взаимосвязи.

Геометрическая интерпретация коэффициента корреляции

Корреляция считается положительной, если график имеет выраженное направление из левого нижнего угла в правый верхний угол и с увеличением значений одной переменной другая также увеличивается;

Корреляция считается отрицательной, если график имеет направление из левого верхнего угла в правый нижний, и с увеличением одной переменной, другая уменьшается;

Корреляция отсутствует, когда у корреляционного облака нет четко выраженного направления, точки рассеиваются далеко от воображаемой прямой и нельзя сказать, что с увеличением одной переменной другая уменьшается или увеличивается.

Рис. 1. Геометрическая интерпретация коэффициента корреляции

Значимость коэффициента корреляции

Коэффициент корреляции между случайными величинами X и Y для генеральной совокупности как правило, неизвестен.

Однако его можно оценить, рассчитав выборочный коэффициент корреляции (коэффициент корреляции Пирсона или Спирмена).

Но при заменяя генеральную совокупность выборкой при оценке коэффициента корреляции допускается ошибка. Поэтому важно оценить значимость (достоверность) рассчитанного коэффициента корреляции.

Например, в эксперименте участвовало 10 человек. Оценивалась взаимосвязь между результатами в беге на 30 м и 100 м. Получен коэффициент корреляции r = 0,611. Чтобы оценить значимость коэффициента корреляции нужно сравнить его с критическим, величина которого зависит от объема выборки и уровня значимости.

Если фактическое значение коэффициента корреляции больше, чем критическое, это означает, что коэффициент корреляции достоверен (значим). В нашем случае критическое значение коэффициента корреляции при n= 10 и α = 0,05 составляет r0,05 =0,632 (в таблице 1 это значение выделено жирным шрифтом).

Из этого следует, что рассчитанный коэффициент корреляции статистически недостоверен. Приводить его в своих исследованиях нежелательно.

Таблица 1 — Критические значения коэффициента корреляции Пирсона

n0,050,010,001
30,99690,9998770,99999877
40,9500,99000,9990
50,8780,95970,99114
60,8110,91720,9741
70,7540,8750,9509
80,7070,8340,9244
90,6660,7980,898
100,6320,7650,872
200,4440,5610,679
300,3610,4630,570
400,3120,4020,501
500,2790,3610,451

В итоговой таблице необходимо указать объем выборки, чтобы читающий мог оценить значимость (достоверность) вычисленных коэффициентов корреляции.

Иногда в публикациях приводятся только значимые коэффициенты корреляции, а вместо незначимых ставится прочерк. В таблице 2 авторы указали, что объем выборки равен n = 32.

Критическое значение коэффициента корреляции при n = 32 и a = 0,05 составляет r0,05 = 0,349 (В.С.Иванов, 1990). Следовательно, все коэффициенты корреляции достоверны.

Таблица 2 — Значения коэффициентов корреляции между результатами в скоростно-силовых тестах и результатом в толкании ядра с разгоном n=32, спортивный результат группы варьировал от 12,00 м до 20,50. Критическое значение коэффициента корреляции при n = 32 и a = 0,05 составляет r0,05 = 0,349 (по: Я.Е.Ланка, Ан.А.Шалманов, 1982).

Упражнение123456
1Толкание ядра с разгона10,970,840,830,730,73
2Толкание ядра с места10,840,820,740,76
3Бросок ядра назад10,850,710,66
4Бросок ядра вперед10,660,62
5Приседание со штангой10,58
6Жим штанги лежа1

Литература

  1. Боровиков В.П., Боровиков И.П. STATISTICA Статистический анализ и обработка данных в среде Windows.– М.: Филинъ, 1995.– 608 с.
  2. Дюк В. Обработка данных на ПК в примерах.– СПб: Питер, 1997.– 240 с.
  3. Ежевская К.А.

    Особенности динамики показателей скоростных способностей детей 4-6 лет в условиях стандартной тестовой тренировочной программы в детском саду //Теория и практика физической культуры, 1995.– № 3 .–С.15-18.

  4. Жданов Л.Н. Возраст спортивных достижений //Теория и практика физической культуры, 1996.– № 6 .– С. 59-60.
  5. Зациорский В.М.

    Осторожно: статистика! // Теория и практика физической культуры, 1989.– № 2.– С. 52-55.

  6. Катранов, А.Г. Компьютерная обработка данных экспериментальных исследований / А.Г. Катранов, А.В. Самсонова /Учебное пособие.– СПб: СПбГАФК им. П.Ф. Лесгафта, 2005.– 132 с.
  7. Ланка Я.Е., Шалманов Ан. А. Биомеханика толкания ядра. – М: Физкультура и спорт, 1982.- 72 с.

  8. Лапшина Г.Г. Особенности физического состояния студенток гуманитарного факультета // Теория и практика физической культуры, 1989.–№ 4.– С. 18-20
  9. Марченко В.В., Дворкин Л.С., Рогозян В.Н. Анализ силовой подготовки тяжелоатлета в нескольких макроциклах //Теория и практика физической культуры, 1998.– № 8.– С. 18–22.
  10. Основы математической статистики: Учебное пособие для ин-тов физ. культ./ /Под ред. В.С.Иванова. М.: Физкультура и спорт, 1990.– 176 с.
  11. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Анализ данных на компьютере.– М.: Финансы и статистика, 1995.– 384 с.

Источник: https://allasamsonova.ru/statistika/korreljacionnyj-analiz/

Линейный коэффициент корреляции Пирсона

Коэффициент корреляции

Обнаружение взаимосвязей между явлениями – одна из главных задач статистического анализа. На то есть две причины. Первая. Если известно, что один процесс зависит от другого, то на первый можно оказывать влияние через второй. Вторая. Даже если причинно-следственная связь отсутствует, то по изменению одного показателя можно предсказать изменение другого.

Взаимосвязь двух переменных проявляется в совместной вариации: при изменении одного показателя имеет место тенденция изменения другого. Такая взаимосвязь называется корреляцией, а раздел статистики, который занимается взаимосвязями – корреляционный анализ.

Корреляция – это, простыми словами, взаимосвязанное изменение показателей. Она характеризуется направлением, формой и теснотой. Ниже представлены примеры корреляционной связи.

Далее будет рассматриваться только линейная корреляция. На диаграмме рассеяния (график корреляции) изображена взаимосвязь двух переменных X и Y. Пунктиром показаны средние.

При положительном отклонении X от своей средней, Y также в большинстве случаев отклоняется в положительную сторону от своей средней. Для X меньше среднего, Y, как правило, тоже ниже среднего.

Это прямая или положительная корреляция.

Бывает обратная или отрицательная корреляция, когда положительное отклонение от средней X ассоциируется с отрицательным отклонением от средней Y или наоборот.

Линейность корреляции проявляется в том, что точки расположены вдоль прямой линии. Положительный или отрицательный наклон такой линии определяется направлением взаимосвязи.

Крайне важная характеристика корреляции – теснота. Чем теснее взаимосвязь, тем ближе к прямой точки на диаграмме. Как же ее измерить?

Складывать отклонения каждого показателя от своей средней нет смысла, получим нуль. Похожая проблема встречалась при измерении вариации, а точнее дисперсии. Там эту проблему обходят через возведение каждого отклонения в квадрат.

Квадрат отклонения от средней измеряет вариацию показателя как бы относительно самого себя. Если второй множитель в числителе заменить на отклонение от средней второго показателя, то получится совместная вариация двух переменных, которая называется ковариацией.

Чем больше пар имеют одинаковый знак отклонения от средней, тем больше сумма в числителе (произведение двух отрицательных чисел также дает положительное число).

Большая положительная ковариация говорит о прямой взаимосвязи между переменными. Обратная взаимосвязь дает отрицательную ковариацию.

Если количество совпадающих по знаку отклонений примерно равно количеству не совпадающих, то ковариация стремится к нулю, что говорит об отсутствии линейной взаимосвязи.

Таким образом, чем больше по модулю ковариация, тем теснее линейная взаимосвязь. Однако значение ковариации зависит от масштаба данных, поэтому невозможно сравнивать корреляцию для разных переменных.

Можно определить только направление по знаку. Для получения стандартизованной величины тесноты взаимосвязи нужно избавиться от единиц измерения путем деления ковариации на произведение стандартных отклонений обеих переменных.

В итоге получится формула коэффициента корреляции Пирсона.

Показатель имеет полное название линейный коэффициент корреляции Пирсона или просто коэффициент корреляции.

Коэффициент корреляции показывает тесноту линейной взаимосвязи и изменяется в диапазоне от -1 до 1. -1 (минус один) означает полную (функциональную) линейную обратную взаимосвязь.

1 (один) – полную (функциональную) линейную положительную взаимосвязь. 0 – отсутствие линейной корреляции (но не обязательно взаимосвязи). На практике всегда получаются промежуточные значения.

Для наглядности ниже представлены несколько примеров с разными значениями коэффициента корреляции.

Таким образом, ковариация и корреляция отражают тесноту линейной взаимосвязи. Последняя используется намного чаще, т.к. является относительным показателем и не имеет единиц измерения.

Диаграммы рассеяния дают наглядное представление, что измеряет коэффициент корреляции. Однако нужна более формальная интерпретация. Эту роль выполняет квадрат коэффициента корреляции r2, который называется коэффициентом детерминации, и обычно применяется при оценке качества регрессионных моделей. Снова представьте линию, вокруг которой расположены точки.

Линейная функция является моделью взаимосвязи между X иY и показывает ожидаемое значение Y при заданном X. Коэффициент детерминации – это соотношение дисперсии ожидаемых Y (точек на прямой линии) к общей дисперсии Y, или доля объясненной вариации Y. При r = 0,1 r2 = 0,01 или 1%, при r = 0,5 r2 = 0,25 или 25%.

Выборочный коэффициент корреляции

Коэффициент корреляции обычно рассчитывают по выборке. Значит, у аналитика в распоряжении не истинное значение, а оценка, которая всегда ошибочна. Если выборка была репрезентативной, то истинное значение коэффициента корреляции находится где-то относительно недалеко от оценки. Насколько далеко, можно определить через доверительные интервалы.

Согласно Центральное Предельной Теореме распределение оценки любого показателя стремится к нормальному с ростом выборки. Но есть проблемка. Распределение коэффициента корреляции вблизи придельных значений не является симметричным. Ниже пример распределения при истинном коэффициенте корреляции ρ = 0,86.

Предельное значение не дает выйти за 1 и, как бы «поджимает» распределение справа. Симметричная ситуация наблюдается, если коэффициент корреляции близок к -1.

В общем рассчитывать на свойства нормального распределения нельзя. Поэтому Фишер предложил провести преобразование выборочного коэффициента корреляции по формуле:

Распределение z для тех же r имеет следующий вид.

Намного ближе к нормальному. Стандартная ошибка z равна:

Далее исходя из свойств нормального распределения несложно найти верхнюю и нижнюю границы доверительного интервала для z. Определим квантиль стандартного нормального распределения для заданной доверительной вероятности, т.е. количество стандартных отклонений от центра распределения.

cγ – квантиль стандартного нормального распределения;
N-1 – функция обратного стандартного распределения;
γ – доверительная вероятность (часто 95%).
Затем рассчитаем границы доверительного интервала.

Нижняя граница z:

Верхняя граница z:

Теперь обратным преобразованием Фишера из z вернемся к r.
Нижняя граница r:

Верхняя граница r:

Это была теоретическая часть. Переходим к практике расчетов.

Как посчитать коэффициент корреляции в Excel

Корреляционный анализ в Excel лучше начинать с визуализации.

На диаграмме видна взаимосвязь двух переменных. Рассчитаем коэффициент парной корреляции с помощью функции Excel КОРРЕЛ. В аргументах нужно указать два диапазона.

Коэффициент корреляции 0,88 показывает довольно тесную взаимосвязь между двумя показателями. Но это лишь оценка, поэтому переходим к интервальному оцениванию.

Расчет доверительного интервала для коэффициента корреляции в Excel

В Эксель нет готовых функций для расчета доверительного интервала коэффициента корреляции, как для средней арифметической. Поэтому план такой:

— Делаем преобразование Фишера для r.
— На основе нормальной модели рассчитываем доверительный интервал для z.
— Делаем обратное преобразование Фишера из z в r.

Удивительно, но для преобразования Фишера в Excel есть специальная функция ФИШЕР.

Стандартная ошибка z легко подсчитывается с помощью формулы.

Используя функцию НОРМ.СТ.ОБР, определим квантиль нормального распределения. Доверительную вероятность возьмем 95%.

Значение 1,96 хорошо известно любому опытному аналитику. В пределах ±1,96σ от средней находится 95% нормально распределенных величин.

Используя z, стандартную ошибку и квантиль, легко определим доверительные границы z.

Последний шаг – обратное преобразование Фишера из z назад в r с помощью функции Excel ФИШЕРОБР. Получим доверительный интервал коэффициента корреляции.

Нижняя граница 95%-го доверительного интервала коэффициента корреляции – 0,724, верхняя граница – 0,953.

Надо пояснить, что значит значимая корреляция. Коэффициент корреляции статистически значим, если его доверительный интервал не включает 0, то есть истинное значение по генеральной совокупности наверняка имеет тот же знак, что и выборочная оценка.

Несколько важных замечаний

1. Коэффициент корреляции Пирсона чувствителен к выбросам. Одно аномальное значение может существенно исказить коэффициент.

Поэтому перед проведением анализа следует проверить и при необходимости удалить выбросы. Другой вариант – перейти к ранговому коэффициенту корреляции Спирмена.

Рассчитывается также, только не по исходным значениям, а по их рангам (пример показан в ролике под статьей).

2. Синоним корреляции – это взаимосвязь или совместная вариация. Поэтому наличие корреляции (r ≠ 0) еще не означает причинно-следственную связь между переменными. Вполне возможно, что совместная вариация обусловлена влиянием третьей переменной. Совместное изменение переменных без причинно-следственной связи называется ложная корреляция.

3. Отсутствие линейной корреляции (r = 0) не означает отсутствие взаимосвязи. Она может быть нелинейной. Частично эту проблему решает ранговая корреляция Спирмена, которая показывает совместный рост или снижение рангов, независимо от формы взаимосвязи.

В видео показан расчет коэффициента корреляции Пирсона с доверительными интервалами, ранговый коэффициент корреляции Спирмена.

↓ Скачать файл с примером ↓

в социальных сетях:

Источник: https://statanaliz.info/statistica/korrelyaciya-i-regressiya/linejnyj-koefficient-korrelyacii-pirsona/

Тема: КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ

Коэффициент корреляции

Врачу любой специальности в практической деятельности приходится наблюдать изменения в состоянии здоровья человека и отдельных групп населения, происходящие в результате воздействия определенных факторов, как в позитивном, так и в негативном направлении. Для того, чтобы уметь отличить случайное от объективного надо знать и уметь это делать. Этому служит данная тема.

Необходимо знать:

  • Коэффициент корреляции (оценка, методы расчета)
  • Значение и практическое применение.

Контрольные вопросы:

1.Какие виды связи могут быть между явлениями в природе и обществе?

2. Определение функциональной связи. Примеры.

3. Понятие о корреляционной связи. Примеры.

4. Направление, сила, форма связи.

5. Методы определения коэффициентов корреляции.

Информационный блок

Все явления в природе и обществе находятся во взаимной связи. Различают две формы связи: функциональную и корреляционную.

Функциональная связь означает строгую зависимость явлений. При функциональной связи изменение какого либо одного явления вызывает обязательно строго определенные по величине изменения другого явления. Такого рода связь чаще наблюдается в физико-химических явлениях.

В области биологических и общественных явлений чаще встречаются взаимосвязи иного характера. Такого рода связи называют статистическими, или корреляционными.

Корреляция — латинское слово – означает соотношение, взаимосвязь между признаками.

При корреляционной связи значению каждой средней величины одного признака соответствует несколько значений другого взаимосвязанного с ним признака.

Связь между явлениями и признаками

Всем известно, что уровень антитоксина в крови и заболеваемость дифтерией взаимосвязаны между собой. При одинаковом уровне антитоксина в разных группах детей встречается разное количество заболевших.

В качестве примеров корреляционной связи можно указать на связь между количеством проведенных профилактических прививок и размерами заболеваемости, между размерами заболеваемости и смертности, между сроками изоляции инфекционных больных и частотой вторичных заболеваний в очаге, между качеством питьевой воды и заболеваемостью острыми кишечными инфекциями и т.д.

Вычисление рангового коэффициента корреляции

Параллельное изменение признаков двух явлений само по себе еще не говорит (хотя и наводит на мысль) о наличии связи между ними, так как может быть обусловлено случайным совпадением многих обстоятельств, не связанных друг с другом.

Измерение связи методами статистики целесообразно только тогда, когда наличие и материальная природа связи хотя бы предположительно установлена специальными методами данной науки.

При наличии действительной связи, установленной на основе конкретного анализа материальной природы изучаемых явлений, статистика дает возможность измерить размер (тесноту, силу) этой связи и установить степень зависимости между изучаемыми явлениями.

Измерение связи заключается в определении ее размеров (тесноты, силы).

Под теснотой связи понимается степень сопряженности связанных признаков, широта варьирования каждого из них при изменении средней величины другого.

Помимо тесноты связи, статистические методы позволяют вскрыть форму этой связи.

По силе связи корреляция колеблется от 0 до 1:

от 0 до 0,3 – слабая,

от 0,3 до 0,69 – средняя,

от 0,7 до 1 – сильная.

При силе связи равной 1 выявлена полная связь (функциональная связь). Сила связи измеряется коэффициентами корреляции.

По характеру связь может быть прямой и обозначается (+) и обратной (-).

Прямая связь – это такая связь, когда изменение одного признака влечет за собой изменение другого в том же направлении. Обратная связь – один признак увеличивается, другой уменьшается.

По форме (или направленности) корреляционные связи подразделяются на прямолинейные, когда наблюдается пропорциональное изменение одного признака в зависимости от изменения другого (графически это выражается в виде прямой линии), и криволинейные, когда одна величина признака изменяется непропорционально изменению другой (на графике эти связи изображаются параболами или иной кривой линией).

Методы сравнения наблюдений, которые независимо от вида распределения называют ранговыми или непараметрическими, т.е. независящими от формы распределения признаков в генеральной совокупности.

Их применение в медико-биологических исследованиях более оправдано хотя бы потому, что они менее трудоемкие по сравнению с другими.

Наиболее часто в этом случае используется метод определения коэффициента корреляции рангов (Спирмена). Этот коэффициент целесообразно использовать, при наличии небольшого числа наблюдений в случаях, когда сопоставляемые данные носят приближенный характер, а форма связи – криволинейна.

При наличии прямолинейной связи между взаимосвязанными компонентными признаками, особенно при большом числе наблюдений, рациональнее прибегать к параметрическим методам оценки, которые требуют вычисления определенных параметров средней величины, среднеквадратического отклонения, средней ошибки. При этом вычисление связи проводится при числе наблюдений 30 и менее сравниваемых пар по методу квадратов (К. Пирсона).

Метод определения коэффициента ранговой корреляции или метод рангов, или метод Спирмена (по автору):

Метод определения коэффициента корреляции рангов (Спирмена)

Последовательность расчета:

7. Определить направление связи. 8. Сделать выводы.

Задача:

Влияние удельного веса нестандартной воды по бак. показателям в Свердловском районе г. Перми на заболеваемость ОКИ.

Вывод: Между уровнем заболеваемости ОКИ и качеством воды существует сильная прямая связь.

Метод квадратов (Пирсона) вычисления коэффициента корреляции.

Этот метод более точен.

Недостаток: может быть использован только для количественных признаков.

Метод квадратов (Пирсона)

Эталон решения

задача: вычислить коэффициент корреляции, определить направление и силу связи между количеством кальция в воде и жесткостью воды, если известны следующие данные (табл. 1). оценить достоверность связи. сделать вывод.

таблица 1

обоснование выбора метода. для решения задачи выбран метод квадратов (пирсона), т.к. каждый из признаков (жесткость воды и количество кальция) имеет числовое выражение; нет открытых вариант.

решение.
последовательность расчетов изложена в тексте, результаты представлены в таблице. построив ряды из парных сопоставляемых признаков, обозначить их через х (жесткость воды в градусах) и через у (количество кальция в воде в мг/л).

таблица 2

пример. влияние введения раннего прикорма

влияние введения раннего прикорма

задачи для самостоятельного решения

Задача 1.Определите характер и силу связи между возрастом пациентов, прошедших углубленный медицинский осмотр, и числом выявленных у них хронических заболеваний. Определите достоверность полученных результатов.

Таблица к Задаче 1.

Задача 2.Проведя анализ представленной таблицы, докажите, что существует зависимость между уровнем распространенности у детей кариеса и потреблением рафинированных углеводов? Какова форма этой зависимости?

Определите достоверность полученных результатов.

Таблица к Задаче 2.

Задача 3. Определите характер и силу связи между загрязненностью воздуха рабочей зоны и частотой возникновения заболеваний органов дыхания, основываясь на данных таблицы. Достоверны ли полученные результаты?

Таблица к Задаче 3.

Задача 4.Определите, существует ли зависимость между количеством детей в группах дошкольных учреждений и заболеваемостью ОРВИ среди них (см. данные таблицы)? Определите достоверность полученных результатов.

Таблица к Задаче 4.

Задача 5. На основании данных, представленных в таблице. Определите силу и характер связи между охватом населения города К. вакцинацией против гриппа и заболеваемостью гриппом.

Таблица к Задаче 5.

Задача 6.

В таблице представлены данные об охвате детского населения (в возрасте 2 лет) профилактическими прививками против эпидемического паротита, а также о заболеваемости детей эпидемическим паротитом за отчетный период в N – ской области. Определите, существует ли зависимость между охватом детского контингента профилактическими прививками и заболеваемостью эпидемическим паротитом.

Таблица к Задаче 6.

ВОПРОСЫ ДЛЯ ТЕСТОВОГО КОНТРОЛЯ

Выберите правильный ответ:

1.По характеру существующих связей между признаками в широком понимании связи подразделяются на:

1. Прямые и обратные

2. Статистические и функциональные

2. Все существующее в живой природе зависимости между признаками изучаются преимущественно:

1. Точными физико-математическими науками

2. Статистикой

3. Для решения элементарной задачи по определению зависимости между признаками и ее направленности рациональнее использовать:

1. Корреляционный анализ

2. Дисперсионный анализ

3. Аналитические группировки

4. Для полной характеристики статистических связей необходимо применять:

  1. Дисперсионный анализ данных
  2. Вычисление различных коэффициентов корреляции
  3. Регрессионный анализ

5. Корреляционная связь характеризуется как связь, при которой:

1. Выявляется полная характеристика особенностей взаимозависимости двух сравниваемых признаков

2. Любому значению одного из признаков соответствует только одно значение другого признака

3. Значению каждой величины одного признака может соответствовать несколько значений другого признака

6. Корреляционный анализ используется с целью:

1.Характеристики группового свойства статистической совокупности –репрезентативности данных

2. Оценки распределения изучаемого признака в любой статистической совокупности

3. Установления наличия связей между признаками и ее направленности

4. Изучения взаимозависимости между признаками по форме, направленности, силе и достоверности

7.Степень выраженности корреляции характеризуют коэффициенты:

1. Соотношения

2. Вариации

3. Регрессии

4. Наглядности

5. Стандартизованные

6. Корреляции Пирсона

7. Стьюдента

8. Ранговой корреляции Спирмена

Дополните:

8. По характеру связь между независимыми признаками может быть полной Или____________________, и статистической или______________________.

9. По направленности изменений изучаемых данных зависимость между сравниваемыми признаками может быть двух видов:_________и__________

10. По форме все корреляционные связи подразделяются на ________________ и __________________________.

11. Наиболее простым методом определения силы связи является метод __________________________________.

12. Наиболее точным способом определения степени связи между признаками является метод ___________________________.

13. Какой метод дает возможность определить наличие связи между признаками без определения ее силы ___________________________.

14.Коэффициент корреляции при функциональной связи равен __________________________.

15. Коэффициент корреляции при отсутствии связи равен_____________

16. По силе корреляционные связи подразделяются на

Эталоны ответов:

1. 2

2. 2

3. 3

4. 1

5. 3

6. 3

7. 3,6,8.

8. Функциональной, корреляционной

9. Прямая, обратная

10. Прямолинейные, криволинейные

11. Спирмена

12. Пирсона

13. x

14. 1

15. 0

16. Слабые, средние, сильные.

Критические значения коэффициента корреляции rxy

Критические значения коэффициента корреляции rxy

Критические значения Х2

Критические значения Х2

Источник: https://zen.yandex.ru/media/id/5f4e2f3978b8ab69e2e27820/tema-korreliacionnyi-analiz-5f85c6aa01c3532acc82f852

Коэффициент корреляции в Excel: что это, как рассчитать? Формула, пример, анализ данных онлайн

Коэффициент корреляции

Различные признаки могут быть связаны между собой.

Выделяют 2 вида связи между ними:

  • функциональная;
  • корреляционная.

Корреляция в переводе на русский язык – не что иное, как связь.
В случае корреляционной связи прослеживается соответствие нескольких значений одного признака нескольким значениям другого признака. В качестве примеров можно рассмотреть установленные корреляционные связи между:

  • длиной лап, шеи, клюва у таких птиц как цапли, журавли, аисты;
  • показателями температуры тела и частоты сердечных сокращений.

Для большинства медико-биологических процессов статистически доказано присутствие этого типа связи.

Статистические методы позволяют установить факт существования взаимозависимости признаков. Использование для этого специальных расчетов приводит к установлению коэффициентов корреляции (меры связанности).

Такие расчеты получили название корреляционного анализа. Он проводится для подтверждения зависимости друг от друга 2-х переменных (случайных величин), которая выражается коэффициентом корреляции.

Использование корреляционного метода позволяет решить несколько задач:

  • выявить наличие взаимосвязи между анализируемыми параметрами;
  • знание о наличии корреляционной связи позволяет решать проблемы прогнозирования. Так, существует реальная возможность предсказывать поведение параметра на основе анализа поведения другого коррелирующего параметра;
  • проведение классификации на основе подбора независимых друг от друга признаков.

Для переменных величин:

  •  относящихся к порядковой шкале, рассчитывается коэффициент Спирмена;
  • относящихся к интервальной шкале – коэффициент Пирсона.

Это наиболее часто используемые параметры, кроме них есть и другие.

Значение коэффициента может выражаться как положительным, так и отрицательными.

В первом случае при увеличении значения одной переменной наблюдается увеличение второй. При отрицательном коэффициенте – закономерность обратная.

Для чего нужен коэффициент корреляции?

Данный статистический показатель позволяет не только проверить предположение о существовании линейной взаимосвязи между признаками, но и установить ее силу.

Случайные величины, связанные между собой, могут иметь совершенно разную природу этой связи. Не обязательно она будет функциональной, случай, когда прослеживается прямая зависимость между величинами. Чаще всего на обе величины действует целая совокупность разнообразных факторов, в случаях, когда они являются общими для обеих величин, наблюдается формирование связанных закономерностей.

Это значит, что доказанный статистически факт наличия связи между величинами не является подтверждением того, что установлена причина наблюдаемых изменений. Как правило, исследователь делает вывод о наличии двух взаимосвязанных следствий.

Свойства коэффициента корреляции

Этой статистической характеристике присущи следующие свойства:

  • значение коэффициента располагается в диапазоне от -1 до +1. Чем ближе к крайним значениям, тем сильнее положительная либо отрицательная связь между линейными параметрами. В случае нулевого значения речь идет об отсутствии корреляции между признаками;
  • положительное значение коэффициента свидетельствует о том, что в случае увеличения значения одного признака наблюдается увеличение второго (положительная корреляция);
  • отрицательное значение – в случае увеличения значения одного признака наблюдается уменьшение второго (отрицательная корреляция);
  • приближение значения показателя к крайним точкам (либо -1, либо +1) свидетельствует о наличии очень сильной линейной связи;
  • показатели признака могут изменяться при неизменном значении коэффициента;
  • корреляционный коэффициент является безразмерной величиной;
  • наличие корреляционной связи не является обязательным подтверждением причинно-следственной связи.

Значения коэффициента корреляции

Охарактеризовать силу корреляционной связи можно прибегнув к шкале Челдока, в которой определенному числовому значению соответствует качественная характеристика.

В случае положительной корреляции при значении:

  • 0-0,3 – корреляционная связь очень слабая;
  • 0,3-0,5 – слабая;
  • 0,5-0,7 – средней силы;
  • 0,7-0,9 – высокая;
  • 0,9-1 – очень высокая сила корреляции.

Шкала может использоваться и для отрицательной корреляции. В этом случае качественные характеристики заменяются на противоположные.

Можно воспользоваться упрощенной шкалой Челдока, в которой выделяется всего 3 градации силы корреляционной связи:

  • очень сильная – показатели ±0,7 — ±1;
  • средняя – показатели ±0,3 — ±0,699;
  • очень слабая – показатели 0 — ±0,299.

Данный статистический показатель позволяет не только проверить предположение о существовании линейной взаимосвязи между признаками, но и установить ее силу.

Коэффициенты корреляции можно классифицировать по знаку и значению:

  • положительный;
  • нулевой;
  • отрицательный.

В зависимости от анализируемых значений рассчитывается коэффициент:

  • Пирсона;
  • Спирмена;
  • Кендала;
  • знаков Фехнера;
  • конкорддации или множественной ранговой корреляции.

Корреляционный коэффициент Пирсона используется для установления прямых связей между абсолютными значениями переменных. При этом распределения обоих рядов переменных должны приближаться к нормальному. Сравниваемые переменные должны отличаться одинаковым числом варьирующих признаков. Шкала, представляющая переменные, должна быть интервальной либо шкалой отношений.

Метод Пирсона рекомендуется использовать для ситуаций, требующих:

  • точного установления корреляционной силы;
  • сравнения количественных признаков.

Недостатков использования линейного корреляционного коэффициента Пирсона немного:

  • метод неустойчив в случае выбросов числовых значений;
  • с помощью этого метода возможно определение корреляционной силы только для линейной взаимосвязи, при других видах взаимных связей переменных следует использовать методы регрессионного анализа.

Ранговая корреляция определяется методом Спирмена, позволяющим статистически изучить связь между явлениями. Благодаря этому коэффициенту вычисляется фактически существующая степень параллелизма двух количественно выраженных рядов признаков, а также оценивается теснота, выявленной связи.

Метод Спирмена рекомендуется применять в ситуациях:

  • не требующих точного определения значение корреляционной силы;
  • сравниваемые показатели имеют как количественные, так и атрибутивные значения;
  • равнения рядов признаков с открытыми вариантами значений.

Метод Спирмена относится к методам непараметрического анализа, поэтому нет необходимости проверять нормальность распределения признака. К тому же он позволяет сравнивать показатели, выраженные в разных шкалах. Например, сравнение значений количества эритроцитов в определенном объеме крови (непрерывная шкала) и экспертной оценки, выражаемой в баллах (порядковая шкала).

На эффективность метода отрицательно влияет большая разница между значениями, сравниваемых величин. Не эффективен метод и в случаях когда измеряемая величина характеризуется неравномерным распределением значений.

Пошаговый расчет коэффициента корреляции в Excel

Расчёт корреляционного коэффициента предполагает последовательное выполнение ряда математических операций.

Приведенная выше формула расчета коэффициента Пирсона, показывает насколько трудоемок этот процесс если выполнять его вручную.
Использование возможностей Excell ускоряет процесс нахождения коэффициента в разы.

Достаточно соблюсти несложный алгоритм действий:

  • введение базовой информации – столбец значений х и столбец значений у;
  • в инструментах выбирается и открывается вкладка «Формулы»;
  • в открывшейся вкладке выбирается «Вставка функции fx»;
  • в открывшемся диалоговом окне выбирается статистическая функция «Коррел», позволяющая выполнить расчет корреляционного коэффициента между 2 массивами данных;
  • открывшееся окно вносятся данные: массив 1 – диапазон значений столбца х (данные необходимо выделить), массив 2 – диапазон значений столбца у;
  • нажимается клавиша «ок», в строке «значение» появляется результат расчета коэффициента;
  • вывод относительно наличия корреляционной связи между 2 массивами данных и ее силе.

[ratings]

Источник: https://forex365.ru/indicators/koef-korrelyacii-v-excell.html

Что такое Корреляция

Коэффициент корреляции

Корреляция — это сходство или взаимосвязь между двумя вещами, людьми или идеями. Означает сходство или эквивалентность, существующие между двумя гипотезами, ситуациями или вещами.

В области статистики и математики корреляция относится к мере между переменными (двумя или более), связанными между собой.

Слово корреляция является существительным женского рода, произошло от латинского correlatiōne («cum» (одновременно) + «relatio» (отношение)), читается как «коррелатионе» и означает «соотношение» или «взаимосвязь».

Слово «корреляция» может быть заменено синонимами, такими как: связь, зависимость, соотношение, взаимосвязь, взаимозависимость и взаимосоответствие.

Корреляционный анализ

Цель коэффициента корреляции заключается в том, чтобы определить интенсивность соотношения, которое существует между известными наборами данных или другой известной информации.

Значение коэффициента корреляции может варьироваться от -1 до 1, и полученный результат определяет, является ли корреляция отрицательной или положительной.

Чтобы интерпретировать коэффициент, необходимо знать, что 1 означает, что корреляция между переменными является полной положительной, а -1 означает, что она является полной отрицательной. Если коэффициент равен 0, то переменные не зависят друг от друга.

Коэффициент корреляции Пирсона (Pearson)

В статистике коэффициент корреляции Пирсона (r-Пирсона), который также называется коэффициентом корреляции момента продукта Пирсона (или PPMCC, или PCC), измеряет взаимосвязь между двумя переменными в одной и той же метрической шкале.

Метод 1) Расчет коэффициента корреляции Пирсона с использованием ковариации и стандартного отклонения

Где:

это ковариация,

это стандартное отклонение переменной x,

это стандартное отклонение переменной y.

В этом случае расчет включает в себя сначала поиск ковариации между переменными и стандартное отклонение каждой из них.

Затем нужно разделить ковариацию на умножение из двух стандартных отклонений — сделайте дробь и поставьте ковариацию сверху, а умножение из двух стандартных отклонений — снизу.

Часто в данных задач уже есть либо стандартные отклонения переменных, либо ковариация между ними, остаётся только применить формулу.

Метод 2) Расчет коэффициента корреляции Пирсона с исходными данными (без ковариации или стандартного отклонения)

При таком методе наиболее лёгкая формула выглядит следующим образом:

Например, если предположить, что у нас есть данные с n = 6 наблюдениями двух переменных: уровня глюкозы (y) и возраста (x). Например, это статистические данные шести человек, от которых мы знаем их возраст и уровень глюкозы.

На следующей таблице вы увидите эти данные: у первого человека, которому 43 года, уровень глюкозы 99, у второго, которому 21 год, уровень глюкозы 65, у третьего, которому 25 лет, глюкоза 79 и так далее.

Вычисление следует производить по следующим шагам.

Шаг 1: Заполнить таблицу следующим образом: внести существующие данные i, x, y и добавить пустые столбцы для xy, x², y².

Шаг 2: Умножить x и y, чтобы заполнить столбец “xy”. Например, в первой строке будет x1y1 = 43 × 99 = 4257.

Шаг 3: Взять значение столбца x и возвести его в квадрат, записать результат в столбце x². Например, в первой строке в нашей таблице будет x12 = 43 × 43 = 1849.

Шаг 4: Сделать то же самое, что и в шаге 3, но теперь используйте столбец y и запишите ваши вычисления в столбце y². Например, в первой строке в нашей таблице будет y12 = 99 × 99 = 9801.

Шаг 5: Сделать сумму каждого из столбцов и поместить результат внизу, к каждой колонке. Например, сумма столбца возраст x равна 43 + 21 + 25 + 42 + 57 + 59 = 247.

Шаг 6: Использовать формулу коэффициента корреляции.

Диапазон коэффициента корреляции от -1 до 1. Наш результат равен 0,5298 или 52,98 %. Это означает, что переменные имеют умеренную положительную корреляцию.

Т.е. возраст и уровень глюкозы зависят друг от друга (т. к. коэффициент 0,5298 далёк от 0), но не очень сильно (т. к. коэффициент всё же очень далёк и от 1). А положительная, так как коэффициент больше чем 0, это означает, что глюкоза и возраст поднимаются вместе, а не наоборот (т. е. чем выше возраст, тем выше уровень глюкозы).

Коэффициент корреляции Спирмена

В статистике также существует коэффициент корреляции Спирмена, который назван в честь статистика Чарльза Эдварда Спирмена (Spearman).

Цель этого коэффициента заключается в измерении интенсивности соотношения между двумя переменными, независимо от того, являются ли они линейными или нет.

Корреляция Спирмена служит для оценки того, может ли интенсивность взаимосвязи между двумя анализируемыми переменными быть измерена монотонной функцией (математическая функция, которая сохраняет или инвертирует соотношение начальной последовательности).

Как считать коэффициент корреляции Спирмена

Расчет коэффициента корреляции Спирмена уже немного отличается от предыдущей. Для этого необходимо организовать имеющиеся данные в следующую таблицу.

1. У вас должны быть две пары данных, соответствующих друг другу. Вы должны внести их в эту таблицу. Например, дирекция ресторана хочет узнать, есть ли связь между количеством заказов бутылок воды и количеством заказов десертов.

Директор взял наугад данные 4-х столиков. Таким образом, у него получились две пары данных: где “Data А” — это заказы десертов, а “Data B” — заказы воды (т. е.

первый столик заказал 7 десертов и 8 бутылок воды, второй — 6 десертов и 3 бутылки с водой и т. д.):

2. В столбце «Ranking А» мы будем классифицировать наблюдения, которые находятся в «Data А», нарастающим образом: «1» является самым низким значением в столбце и n (общее количество наблюдений) — самым высоким значением в столбце «Data А». В нашем примере это:

3. Сделайте то же самое позиционирование (классификацию наблюдений) для второго столбца “Data B”, записав это в столбце “Ranking B”.

4. В столбце «d» посчитайте разницу между двумя последними столбцами-ранкингами (A — B). Знак здесь учитывать не нужно (в следующем шаге узнаете почему).

5. Возведите во вторую степень каждое из значений, полученное в столбце «d».

6. Сделайте сумму всех данных, которые у вас получились в столбце «d2». Это будет Σd². В нашем примере Σd² = 0+1+0+1 = 2.

7. Теперь используем формулу Спирмена.

В нашем случае n = 4, мы это видим по количеству пар данных (соответствует числу наблюдений).

8. И наконец, замените данные в формуле.

Наш результат равен 0,8 или 80 %. Это означает, что переменные имеют положительную корреляцию.

Т. е. заказы бутылок воды и заказы десертов клиентами этого ресторана зависят друг от друга (т. к. коэффициент 0,8 далёк от 0), но не полностью (т. к. коэффициент очень близок к 1, но не равен 1).

А положительная, так как коэффициент больше чем 0, это означает, что количество воды и количество десертов увеличиваются вместе, а не наоборот (т. е.

чем выше количество потребляемой воды, тем выше количество потребляемых десертов).

Линейная регрессия

Это формула, используемая для оценки возможного значения переменной (y), когда известны значения других переменных (x).

Значение «x» является независимой переменной или предиктором, а «y» зависимая переменная (также переменная отклика) или ответ на заданный вопрос.

Линейная регрессия используется для проверки того, как значение «y» может меняться в зависимости от переменной «x». Прямая, содержащая значения проверки этой вариации, называется линией линейной регрессии.

Если отношение будет между зависимой переменной (“y”) и независимой переменной (“x”), регрессия будет называться простой линейной регрессией.

Простая линейная регрессия

Yi = β0 + β1Xi + εi

Где:

β0 — сдвиг (длина отрезка, отсекаемого на координатной оси прямой Y)

β1 — наклон прямой Y,

εi— случайная ошибка переменной Y в i-м наблюдении.

Смотрите также значение Логарифм

Источник: https://www.uznaychtotakoe.ru/korrelyaciya/

Все термины
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: