Игра с нулевой суммой

Игра с нулевой суммой 2020

Игра с нулевой суммой
видео // www. Investopedia. ком / условия / г / нулевой sumgame. asp

Нулевая сумма — это ситуация в теории игр, в которой выигрыш одного человека эквивалентен убытку другого, поэтому чистая смена богатства или выгоды равна нулю. В игре с нулевой суммой может быть всего два игрока или миллионы участников.

Игры с нулевой суммой найдены в теории игр, но менее распространены, чем игры с ненулевой суммой. Покер и азартные игры являются популярными примерами игр с нулевой суммой, поскольку сумма выигрышей некоторых игроков равна совокупным потерям других игроков.

Игры, такие как шахматы и теннис, где есть один победитель и один неудачник, также являются играми с нулевой суммой. На финансовых рынках опционы и фьючерсы являются примерами игр с нулевой суммой, за исключением транзакционных издержек.

Для каждого человека, который получает контракт, есть противоположная сторона, которая теряет.

Разгрузка «игра с нулевой суммой»

В теории игр игра с совпадающими грошами часто цитируется как пример игры с нулевой суммой. В игре задействованы два игрока, A и B, одновременно размещая копейки на столе. Выигрыш зависит от того, совпадают ли пенни или нет. Если обе гроши — это головы или хвосты, игрок A выигрывает и удерживает пенни игрока B; если они не совпадают, игрок B выигрывает и удерживает пеню игрока А.

Это игра с нулевой суммой, потому что выигрыш одного игрока — это потеря другого. Выплаты для игроков A и B показаны в таблице ниже, с первой цифрой в ячейках (a) — (d), представляющей выигрыш игрока A, и плей-офф второго числа Player B. Как видно, комбинированный плей-офф для A и B во всех четырех ячейках равен нулю.

Большинство других популярных стратегий теории игр, таких как дилемма заключенного, конкурс Курно, многоножка и тупик, — отличная от нуля сумма.

Игры с нулевой суммой противоположны беспроигрышным ситуациям, таким как торговое соглашение, которое значительно увеличивает торговлю между двумя странами — или потерять потери, например, например, война. В реальной жизни, однако, все не всегда так ясно, и выгоды и потери часто трудно оценить количественно.

Общим заблуждением, которое придерживается кто-то, является то, что фондовый рынок — игра с нулевой суммой.

Это не так, поскольку инвесторы могут повышать или понижать цены акций в зависимости от множества факторов, таких как прогноз экономики, прогнозы прибыли и оценки, без изменения доли акций.

В конечном счете, фондовый рынок неразрывно связан с реальной экономикой, и оба они являются мощными инструментами создания богатства, а не играми с нулевой суммой.

Теория и история игры с нулевой суммой

Теория игр — это сложное теоретическое исследование экономики. Основополагающим является основополагающая работа 1944 года «Теория игр и экономического поведения», написанная венгерским американским математиком Джоном фон Нейманом и соавтором Оскара Моргенштерна.

Теория игр — это исследование принятия стратегических решений между двумя или более интеллектуальными и рациональными сторонами.

Теория, применяемая к экономике, использует математические формулы и уравнения для прогнозирования результатов в транзакции, принимая во внимание множество различных факторов, включая прибыли, потери, оптимальность и индивидуальное поведение.

Теория игр может использоваться в широком спектре экономических областей, включая экспериментальную экономику, которая использует эксперименты в контролируемой обстановке для проверки экономических теорий с более реалистичным пониманием.

Теоретически игра с нулевой суммой решена тремя решениями, возможно, наиболее заметным из которых является равновесие Нэша, выдвинутое Джоном Нэшем в его статье 1951 года «Некоммерческие игры.

«Равновесие Нэша утверждает, что два или более противников в игре, учитывая знание выбора друг друга и что они не получат никакой пользы от изменения своего выбора, поэтому не будут отклоняться от своего выбора.

«Игра с нулевой суммой» и экономика

Когда применяется конкретно к экономике, при рассмотрении игры с нулевой суммой следует учитывать множество факторов. Игра с нулевой суммой предполагает идеальную конкуренцию и отличную информацию; то есть оба оппонента в модели имеют всю соответствующую информацию для принятия обоснованного решения.

Чтобы сделать шаг назад, большинство транзакций или сделок по сути являются играми с нулевой суммой, потому что, когда две стороны соглашаются торговать, они делают это с пониманием того, что товары или услуги, которые они получают, более ценны, чем товары или услуги, которые они торгуют для он, после транзакционных издержек.

Это называется положительной суммой, и большинство сделок подпадают под эту категорию.

Варианты и торговля фьючерсами — ближайший практический пример игрового сценария с нулевой суммой. Варианты и фьючерсы являются по существу информированными ставками о том, какая будущая цена определенного товара будет в строгие сроки.

Хотя это очень упрощенное объяснение опционов и фьючерсов, как правило, если цена этого товара растет (как правило, против ожиданий рынка) в течение этого периода времени, вы можете продать фьючерсный контракт с прибылью.

Таким образом, если инвестор делает деньги с этой ставки, произойдет соответствующая потеря. Вот почему торговля фьючерсами и опционами часто связана с отказом от ответственности неопытных трейдеров.

Однако фьючерсы и опционы обеспечивают ликвидность для соответствующих рынков и могут быть очень успешными для правильного инвестора или компании.

Важно отметить, что фондовый рынок в целом часто считается игрой с нулевой суммой, что является заблуждением, наряду с другими распространенными недоразумениями. Исторически и в современной культуре фондовый рынок часто приравнивается к азартным играм, что, безусловно, является игрой с нулевой суммой.

Когда инвестор покупает акции, это доля собственности компании, которая дает этому вкладчику долю прибыли компании.

Стоимость акции может повышаться или понижаться в зависимости от экономики и множества других факторов, но в конечном счете, владение этим запасом в конечном итоге приведет к прибыли или убыткам, которые не основаны на шансе или гарантии чужого убытка ,Напротив, азартные игры означают, что кто-то выигрывает деньги другого, кто теряет его.

Существуют и другие подобные мифы относительно фондового рынка, некоторые из которых включают в себя: падающие акции должны снова подняться в какой-то момент, а акции, которые растут, должны снизиться, а также фондовый рынок исключительно для чрезвычайно богатых.

Источник: https://ru.toptipfinance.com/zero-sum-game

Игры с нулевой суммой и условия Каруша-Куна-Таккера

Игра с нулевой суммой

В этой статье я подробностях разбираюсь с задачей поиска равновесных смешанных стратегий на примере антагонистических игр.

Пусть есть два игрока, A и B, которые многократно разыгрывают некоторую игру.

Каждый игрок в каждом розыгрыше придерживается одной из нескольких стратегий — для простоты будем считать, что количество стратегий для обоих игроков совпадает и равняется .

При выборе -й стратегии первым игроком и -й стратегии вторым игроком первый игрок получит выигрыш , а второй игрок получит такой же проигрыш — так уж устроены антагонистичные игры. Эти выигрыши можно записать в виде квадратной матрицы :

Игроки разыгрывают игру многократно и могут использовать разные стратегии в разных розыгрышах. Смешанная стратегия — это вектор вероятностей, сопоставленных каждой из чистых стратегий игрока.

Каждый игрок выбирает одну из стратегий в очередном розыгрыше в соответствии с вероятность, определённой для неё его смешанной стратегией.

Если обозначить через и смешанные стратегии игроков, то математическое ожидание выигрыша первого игрока будет равняться

Пара смешанных стратегий называется равновесием, если ни один игрок не может увеличить свой выигрыш, изменив свою стратегию. Другими словами, для любой другой пары стратегий , выполнено:

Вот поиском таких равновесий мы сейчас и займёмся.

1. Равновесия

Итак, пара смешанных стратегий образует равновесие, если изменение смешанной стратегии для первого игрока не может увеличить его выигрыш, а изменение смешанной стратегии для второго игрока не может уменьшить его проигрыш.

Например, рассмотрим такую матрицу выигрышей:

В этом случае ни одна из пар чистых стратегий не является равновесием. Пусть, скажем, первый игрок выбирает первую стратегию. Тогда второй игрок хочет захочет также всегда выбирать первую стратегию: это приведёт к меньшему проигрышу (2 против 3).

Но, если второй игрок выбирает первую стратегию, первый игрок предпочтёт ответить стратегией номер два: так его выигрыш будет больше (4 против 1). Однако, если первый игрок выбирает вторую стратегию, второй игрок также ответит второй: его проигрыш таким образом уменьшится (1 против 4). Но при выборе вторым игроком второй стратегии первый игрок выберет первую стратегию, и так далее.

Итого, при любом выборе чистых стратегий хотя бы один из игроков может изменить свой выбор так, чтобы увеличить собственную выгоду.

Однако в пространстве смешанных стратегий равновесие найдётся. Нетрудно проверить, что равновесием в данном случае будет пара смешанных стратегий , . В таком случае математическое ожидание выигрыша для первого игрока будет равно 2.5.

Нетривиальным является тот факт, что пара стратегий, образующая равновесие, обязательно существует. Это утверждает знаменитая теорема Нэша, будучи применённой к антагонистическим играм.

Если смешанные стратегии и образуют равновесие, они оказываются решениями оптимизационных задач:

При этом на сами стратегии распространяются очевидные ограничения:

Если бы в задаче были только ограничения в форме равенств, для поиска решений можно было бы воспользоваться методом множителей Лагранжа. Но его применение невозможно из-за наличия ограничений в виде неравенств: каждый компонент смешанной стратегии должен допускать вероятностную интерпретацию, а поэтому не может быть отрицательным.

Рассмотрим, например, следующую матрицу выигрышей:

Не вдаваясь в технические детали, скажу, что применение метода множителей Лагранжа с учётом только лишь ограничений в виде равенств

в данном случае приведёт к решению

Это происходит из-за того, что метод множителей Лагранжа не может учесть ограничения в виде неравенств. Тут-то нам и помогут условия Каруша-Куна-Таккера.

2. Условия Каруша-Куна-Таккера

Также эти условия известны как условия Куна-Таккера, а всё потому, что впервые опубликованы они были в работе 1951-го года за авторством Куна и Таккера, и лишь впоследствии обнаружилось, что Каруш уже в 1939-м году сформулировал их в неопубликованной работе.

На время отвлечёмся от теории игр и сформулируем более общую задачу оптимизации следующим образом: необходимо найти минимум некоторой функции

при условии ограничений как в виде равенств, так и в виде неравенств:

Доказывается, что тогда каждая точка, являющаяся решением оптимизационной задачи, удовлетворяет условиям Каруша-Куна-Таккера:

Здесь первое условие очень похоже на соответствующие условие в методе множителей Лагранжа; последние два условия фактически дублируют ограничения исходной оптимизационной задачи.

Второе и третье условия — хитрые. Вместе с условием четыре они означают следующее:

  • либо ,
  • либо всё-таки , но тогда обязательно .

Теперь возникает вопрос о том, а как, собственно, решать такую систему уравнений. Как правило, можно поступать следующим образом:

  • из условия 2 означить некоторые из нулями;
  • из оставшихся уравнений условия 2, уравнения 1 и условий 5 получить систему уравнений и найти все её решения;
  • из этих решений выбрать те, что удовлетворяют условиям 3 и 4;
  • повторить описанный алгоритм для всех возможных способов означить переменные из условия 2 нулями;
  • из всего множества полученных решений простым перебором выбрать те, что являются решениями исходной оптимизационной задачи.

Что же, звучит довольно сложно. Попробуем теперь приземлить этот алгоритм на задачу поиска равновесных стратегий в антагонистических играх.

3. Условия ККТ для антагонистических игр

Выше я записал условия ККТ для задачи минимизации. Поэтому нужно сформулировать все условия в терминах задачи минимизации, плюс нужно соблюсти формальность и переписать условия в виде неравенств так, чтобы они были записаны в виде «меньше либо равно нулю».

Условия для :

Условия для :

Теперь выпишем лагранжианы:

Возьмём производные:

Теперь запишем оставшиеся условия Каруша-Куна-Таккера, местами преобразовав в более удобный вид. Для :

Для :

Приравнивая производные лагранжианов нулю, получим следующую систему уравнений:

Здесь переменных и уравнений. Используем теперь условия:

Каждое из этих условий позволяет приравнять нулю либо , либо , а также либо , либо . Значит, существует способов означить переменных нулями. Поэтому нужно будет решить систем линейных уравнений, в каждой из которых будет уравнения и неизвестных (остальные означены нулями).

Из всех решений нужно будет выбрать только те, которые удовлетворяют оставшимся ограничениям Каруша-Куна-Таккера:

В полученном множестве решений обязательно окажется искомое равновесие.

Рассмотрим теперь подробнее уравнения, которые получаются после означения некоторых неизвестных нулями. Для примера рассмотрим следующее уравнение для некоторого :

Мы знаем, что может равняться нулю, в таком случае уравнение принимает вид

Если же в соответствии с выбором не равняется нулю, эта неизвестная просто выражается через значения вектора и значение :

При этом можно достаточно простым образом гарантировать, что сумма справа всегда будет положительной: для этого достаточно увеличить все значения матрицы на некоторую очень большую величину.

Таким образом, неизвестные и, по аналогии при решении системы можно просто исключить из рассмотрения: они всегда либо равны нулю, либо тривиальным образом выражаются через другие неизвестные и при этом не используются в дальнейшем; ограничения на неотрицательность этих неизвестных также выполняются автоматически. Поэтому систему для решения можно упростить:

А ограничения становятся тривиальными:

Так мы получили две независимых друг от друга системы линейных алгебраических уравнений, в каждой из которых неизвестных и неизвестная. Матрицы двух систем отличаются друг от друга транспонированием.

5. В поисках равновесия

Не все полученные решения будут равновесиями: условия ККТ являются достаточными, но не являются необходимыми. Нужно явным образом проверить свойство равновесности. Напомню, что пара смешанных стратегий , является равновесием, если для любых других смешанных стратегий , выполнено:

Но проверять это свойство для всех возможных альтернативных смешанных стратегий, конечно, не получится.

Нам на помощь приходит тот факт, что среди множества найденных решений обязательно находится равновесие. Это значит, что проверить равновесность можно лишь сравнениями с другими полученными решениями.

Подробнее: пусть — все найденные решения. Пара является равновесием тогда и только тогда, когда

6. Реализация

Весь код реализации я сложил к себе на GitHub: https://github.com/ashagraev/zero_sum_game

В matrix.h лежит простой утилитарный код: прочитать матрицу, транспонировать матрицу, решить СЛАУ. Для решения СЛАУ я использую простейший метод Гаусса с выбором ведущего элемента и тривиальной проверкой на вырожденность. Эту можно было бы реализовать и получше, но суть не в ней.

Реализация описанного алгоритма для решения набора СЛАУ находится в файле kkt.cpp. Для генерации подмножеств используются коды Грея. Чтобы подружить рекурсивный метод генерации кодов Грея с последовательной их обработкой, пришлось немного покуражиться с callback'ами.

Равновесий в игре может быть более одного, более того, их может быть бесконечно много.

Во всяком случае, нужно быть готовыми к тому, что алгоритм выведет больше одного решения (а всё множество решений будет некоторой линейной оболочкой над выведенными решениями).

Поэтому сигнатура функции предполагает, что результатом будет вектор стратегий, а не одна стратегия. А в main, соответственно, все эти вектора выводятся.

Примеры входных матриц для программы находятся в input.txt, а результаты запуска программы на этих примерах — в файле output.txt.

Источник: https://habr.com/ru/post/489526/

Фондовый рынок и инвестиции с точки зрения теории игр

Игра с нулевой суммой

Игры на финансовых рынках

Автор статьи Филипп Астраханцев

Я купил у своего друга Бориса доллары. Я думаю, что они должны подорожать, Борис думает, что подешеветь. Что произойдет дальше?

  • Если цена доллара вырастет, то я буду в плюсе. Но мой друг, который доллары продал, окажется в убытке.
  • Если я покупаю доллары, это никак не увеличивает общее благосостояние общества.
  • Верно предсказывая рост доллара, я могу обогащаться, но только за счет других людей.
  • Поэтому, спекуляция на курсах валют, она же торговля на форексе является примером игры с нулевой суммой (мы не берем в рассмотрение комиссии).

В «большом» форексе огромное число участников, совершается невероятное количество операций, огромные денежные потоки постоянно находятся в движении. Но общее количество денег при этом не изменяется, и одни могут «заработать» только за счет других.

Игры с нулевой суммой

Я веду этот блог уже более 6 лет. Все это время я регулярно публикую отчеты о результатах моих инвестиций. Сейчас публичный инвестпортфель составляет более 1 000 000 рублей.

Специально для читателей я разработал Курс ленивого инвестора, в котором пошагово показал, как наладить порядок в личных финансах и эффективно инвестировать свои сбережения в десятки активов. Рекомендую каждому читателю пройти, как минимум, первую неделю обучения (это бесплатно).

Подробнее

Игра с нулевой суммой (она же «антагонистическая игра») – термин из теории игр, который обозначает ситуацию, в которой выигрыш одного участника равнозначен проигрышу другого, а общая сумма выигрыша остается равной нулю. Такие игры могут иметь как двух участников, так и миллионы.

 Покер – классический пример игры с нулевой суммой, поскольку выигрыш одних игроков равен суммарному проигрышу остальных. Такие игры, как шахматы и теннис, где есть один победитель и один проигравший, тоже относятся к антагонистическим.

 Вот пример простой игры – «Укради мороженое у брата».

Младший брат несчастлив, потому что у него нет мороженого. Его уровень счастья составляет -1. Старший брат, наоборот, счастлив, у него уровень 1. Их общее счастье равняется 0. Маленький человек не может терпеть такую несправедливость и проводит ловкий маневр.

После перераспределения богатства их общий уровень счастья остался без изменения и по-прежнему равен 0. В игре с нулевой суммой общее количество выигрыша / счастья остается одинаковым, и вопрос заключается лишь в том, как оно будет разделено между игроками.

Теория игр

Классический пример игры с нулевой суммой из теории игр – это игра в орлянку, когда двое игроков подбрасывают монетку. Более интересные ситуации – игры с ненулевой суммой. Это так называемые ситуации win-win (выигрыш-выигрыш) или lose-lose (проигрыш-проигрыш).

Достаточно известны такие задачи из теории игр, как «дилемма заключенного» и «дилемма путешественника». Для примера рассмотрим ситуацию с несколькими игроками, так называемую «дилемму ужина».

Несколько участников трапезы стремятся достигнуть максимальной личной выгоды, но в итоге оказываются в неприятной ситуации.

Перед началом совместного ужина несколько друзей, назовем их Алексей, Борис и Виктор, договариваются разделить счёт поровну. Ресторан, куда они отправились, предлагает широкий выбор как бюджетных, так и дорогих блюд. Друзья оказываются перед трудным выбором.

Алексей, который в обычной ситуации не стал бы заказывать дорогие блюда, понимает, что сегодня он может себе это позволить, поскольку стоимость будет делиться на всех. Борис и Виктор приходят к таким же логическим выводам.

В результате все трое друзей тратят больше денег, чем хотели бы. «Дилемма ужина» — пример игры с ненулевой суммой. В таких играх выбор игроков влияет на общий уровень счастья или богатства в системе, в отличие от игр с нулевой суммой, рассмотренных ранее.

 Давайте теперь поговорим, как это все относится к акциям на фондовом рынке.

Заблуждение новичков

Есть частое заблуждение, которое я встречаю у людей, начинающих знакомиться с фондовым рынком. Они думают, что те деньги, на которые они покупают акции, уходят компании-эмитенту этих акций, и компания будет их использовать для развития.

И по мере роста бизнеса компании, их инвестиция также будет расти. В реальности, кроме случаев первичного размещения акций (IPO), эта компания никогда не увидит денег инвестора.

Вместо этого совершается сделка на вторичном рынке между продавцом и покупателем, оба из которых не имеют отношения к самой компании.

Игра с нулевой суммой?

Поскольку на фондовом рынке, как и, например, на форексе, присутствует продавец и покупатель, которые заключают сделку, то можно подумать, что он также является игрой с нулевой суммой. Один из игроков выигрывает, когда кто-то другой проигрывает. Тот, кто выигрывает чаще, зарабатывает на акциях.

 Чтобы разобраться с этим вопросом, я расскажу вам небольшую историю. Предположим, у наших знакомых Алексея, Бориса и Виктора есть по 10 тысяч рублей, всего 30 тысяч. И есть компания Газгаз, которая хочет привлечь капитал для развития и для этого выпускает акции – 4 акции по 1000 рублей.

 Алексей и Борис покупают эти акции по две штуки каждый (по 1000 рублей за штуку). В итоге Газгаз получает желаемые 4 тысячи рублей, а Алексей и Борис владеют двумя акциями каждый. Проходит год. Алексей решает, что акции теперь стоят на 100% дороже и выставляет их на продажу на фондовой бирже. Виктор покупает обе акции у Алексея по 2000 рублей за штуку.

Теперь Виктор владеет двумя акциями стоимостью 2000 каждая, а у Алексея уже не 10000, а 12000 рублей, из которых 2000 он заработал на фондовом рынке.

Борис по-прежнему владеет двумя акциями, но теперь они стоят 4000 рублей, 2000 рублей – нереализованная прибыль. Появилось ли больше денег в системе? Нет. У Алексея теперь 12 тысяч (у него было 10 тыс., он инвестировал 2 тыс. и получил прибыль 2 тыс.). У Бориса сейчас 8 тысяч рублей и акции, которые стоят 4 тысячи (то есть он оценивает свое состояние в 12 тысяч).

У компании Газгаз – 4 тысячи рублей, которые она получила от Алексея и Бориса. У Виктора 6 тысяч рублей и акции, которые он оценивает в 4 тысячи. Но посмотрите, что получилось. Наша маленькая экономика стала богаче. У Алексея 12 тысяч вместо 10, у Бориса 8, но вместе с акциями – тоже 12. Газгаз получил 4 тысячи, а у Виктора осталось 6 тысяч и акции стоимостью 4 тысячи.

Теперь компания может вложить деньги в развитие, Алексей и Борис увеличили свое состояние на 20%. У Виктора пока столько же денег, но он рассчитывает, что Газгаз с умом распорядится инвестициями, и его состояние увеличится, как ранее у Алексея.

 Мы видим, что определение игры с нулевой суммой не подходит для фондового рынка, поскольку он может увеличивать общее богатство участников.

Развитие экономики – двигатель фондового рынка

Предыдущий пример наглядно показал, как общее благосостояние инвесторов может увеличиваться на фондовом рынке. Но это только одна сторона, поскольку созданное богатство можно назвать «виртуальным». Самое главное заключается в том, что при приобретении акции инвестор получает право на часть прибыли компании.

Цена акции может двигаться вверх и вниз в зависимости от множества факторов, но в итоге прибыль (или потери) акционера не будут основаны на потерях (или прибыли) других людей. Фондовый рынок отражает стоимость компаний, как ее видят участники на настоящий момент.

По мере роста экономики и развития компаний, они будут производить больше ценных товаров и услуг, будут появляться новые компании. Экономика будет расширяться, и фондовый рынок будет расти и увеличиваться. В долгосрочной перспективе это игра с положительной суммой, поскольку система растет в результате изменений рыночных цен.

Это сильно отличается от игр с нулевой суммой, таких как покер, где количество денег увеличивается, только если новые люди присоединяются к игре, а не из-за того, что активы в игре становятся более ценными.

Подробнее об акциях

Если вы хотите узнать больше интересного и полезного об акциях, этой игре с положительной суммой, то приглашаю вас на свой вебинар «Акции. Ликбез». Подробное описание и регистрация – по ссылке. Первое занятие для всех бесплатно.

Успешных инвестиций,
Филипп

(4 5,00

Источник: https://smfanton.ru/interesno/teoriya-igr.html

Рынок как игра с нулевой суммой

Игра с нулевой суммой

Разберём известный аргумент Шарпа о том, что

  1. Рынок представляет собой игру с нулевой суммой, т.е. получить повышенную доходность на нём можно только за счёт кого-то другого.
  2. Получить повышенную доходность за счёт пассивных инвесторов невозможно.
  3. Суммарная доходность активных инвесторов всегда будет ниже, чем у пассивных.
  4. Кто вообще такие активные и пассивные инвесторы.

Для большей формальности я буду сопровождать изложение несложной арифметикой, которую можно спокойно пропускать (показать выкладкискрыть выкладки).

Определим рынок как совокупность некоторых активов.

Эти активы приносят доход (I) в виде ренты и роста своей стоимости за счёт чистого притока новых денег на этот рынок.I=∑Ii​

Рыночная доходность — это суммарный доход за период, отнесённый к суммарной начальной стоимости активов (P).P=∑Pi​R=I/P

Простым арифметическим преобразованием получаем, что рыночная доходность (R) — это сумма доходностей отдельных активов (Ri​) с весами, взятыми пропорционально их капитализации на начало периода.R=PI​=P∑Ii​​=∑PPi​​Pi​Ii​​=∑Wi​Ri​

Так мы получили индекс полного рынка, который и имеется в виду под «индексом» во всех подобного рода рассуждениях.

Определим участника рынка как владельца части активов, торгующихся на рассматриваемом рынке (другие активы в его собственности не рассматриваем!). Участники рынка владеют всеми активами данного рынка. Следовательно, участники рынка в совокупности получают доход, в точности равный доходу от активов этого рынка (минус транзакционные издержки).

По определению, суммарный размер капитала участников равен суммарной стоимости активов.C=∑Cp​=∑Pi​=P

Следовательно, общий доход участников равен общему доходу от активов, а их взвешенная по размеру капитала доходность равна рыночной доходности (wip​ — вес i-го актива у p-го участника).R=p∑​(CCp​​i∑​wip​Pi​Ii​​)=i∑​(Pi​Ii​​p∑​CCp​​wip​)=i∑​Pi​Ii​​CPi​​=R

Средним участником рынка называется участник, имеющий средневзвешенную по всем участникам доходность = рыночную доходность.

Рыночным (индексным) портфелем назовём портфель, состоящий из всех активов данного рынка в долях, пропорциональных их капитализации (Wi​). Как показано выше, доходность рыночного портфеля равна рыночной доходности.

Пассивным инвестором на рынке M назовём участника рынка M, который держит рыночный портфель. Остальных участников будем называть активными инвесторами.

До учёта транзакционных издержек, средневзвешенные доходности активных (индекс a) и пассивных (индекс p) инвесторов одинаковы и равны рыночной доходности.R=CCa​Ra​+Cp​Rp​​⇒Ra​=Ca​CR−Cp​Rp​​=Ca​(C−Cp​)R​=R

Другими словами, если все инвесторы в совокупности получают рыночную доходность, то после исключения тех, кто получает рыночную доходность в силу структуры портфеля, оставшиеся неизбежно получат рыночную же доходность.

Следовательно, получение активными инвесторами доходности выше среднерыночной возможно только за счёт других активных же инвесторов.

Т.к. индексный портфель, в отличие от активного, не требует расходов на управление, активные инвесторы в совокупности всегда будут отставать от пассивных, отдавая часть своей доходности на транзакционные издержки.

Некоторые комментарии

Как вы могли заметить, нигде в этих рассуждениях не была использована гипотеза эффективного рынка.

Часто можно услышать утверждение, что теоретическую основу пассивных инвестиций составляет тот факт, что рынки эффективны ⇒ выбор активов не имеет смысла, а значит можно просто купить самый дешёвый индекс.

А если к эффективности рынков есть вопросы, значит и выбор активов, и выбор времени входа/выхода могут иметь место.

Но аргумент Шарпа даёт куда более сильное обоснование пассивному подходу: неважно, эффективен рынок или нет, пассивный инвестор не может получить прибыль ниже среднерыночной. А вот активная позиция всегда ставит его в уязвимое положение. Отказ от игры ведёт не к проигрышу, а к выигрышу по сравнению со средним игроком т.к. издержки активных игроков всегда выше, чем у пассивных.

К сожалению, «пассивными инвестициями» сейчас называют практически всё что угодно, очень часто приплетая к своему пониманию пассивности результаты вышеизложенной модели (а также множества других исследований о превосходстве индексного подхода для частного инвестора над активными операциями на рынке). Поэтому запомните её ключевое требование, чтобы не попасться в ловушку плохих определений: пассивный инвестор всегда удерживает портфель, повторяющий взвешенный по капитализации индекс полного рынка, на котором инвестор является пассивным.

Нельзя быть пассивным инвестором «вообще». Определение пассивного инвестора требует указания рынка (перечня активов), на котором инвестор будет пассивным.

Можно быть пассивным инвестором на отдельных рынках (например, акций и облигаций), но активным — на совокупном рынке (если доли акций и облигаций в портфеле не соответствуют их долям в мировом рынке).

В последнем случае вы можете отдавать часть своей доходности другим активным инвесторам, с другим распределением активов (например, премия за ребалансировку — это форма активного дохода, получаемая за счёт тех инвесторов, чья доля в продаваемом активе выше среднерыночной, а в покупаемом — ниже).

Даже если ваш портфель содержит все торгуемые активы пропорционально их каптиализации, расширение рассматриваемого рынка включением в него неторгуемых активов, сделает вас активным инвестором на этом расширенном рынке, и возможной «жертвой» активных инвесторов (в случае перетока капитала из торгуемых активов в неторгуемые). Быть пассивным инвестором на расширенном рынке невозможно т.к. неторгуемые активы в общем случае неделимы и их капитализация не определена. К неторгуемым активам относится, например, частный бизнес в т.ч. сдача в аренду отдельных объектов недвижимости.

Но даже все торгуемые активы вы едва ли захотите иметь пропорционально их капитализации. Потому что это будет означать, что примерно 38% вашего портфеля будут занимать облигации и золото (которые не приносят долгосрочного дохода), а ещё 28% — наличные деньги, обесценивающиеся инфляцией.

Т.е. в глобальном смысле любой инвестор занимает активную позицию, как минимум связанную с его целями по риску и доходности вложений. Но на каждом конкретном рынке он может отказаться конкуренции с другими инвесторами за повышенную доходность, устранив тем самым вероятность получить на нём доходность пониженную.

Возможности для активных инвесторов, не учитываемые моделью

Аргумент Шарпа не запрещает существование групп активных инвесторов, которые могут систематически проигрывать другим группам (например, наивные частные инвесторы или институциональные инвесторы, действующие вынужденно).

Также, активные инвесторы могут иметь преимущество перед пассивными, избирательно участвуя в операциях размещения и выкупа акций компаниями (модель не предполагает изменения количества активов на рынке, только приток и отток капитала).

Однако сами объёмы размещений и выкупов относительно общей рыночной капитализации невелики (порядка первых процентов в год), а возможные потери на них — в десятки раз меньше.

Предположим, что новые компании должны иметь долю в 1% портфеля, то, соответственно, «вынужденный» спрос на их акции от пассивных инвесторов составит [доля компании в рыночной капитализации] × [доля пассивных инвесторов на рынке], что в предельном случае даёт тот же 1% их капитала.

На идеально ликвидном рынке (где рыночная капитализация компании строго равна сумме вложенных в её акции денег) такой вынужденный спрос приведёт к росту цены акции на этот же 1% т.е. потери пассивных инвесторов в пользу активных составят 0,005% (т.к.

цена будет расти к максимальному значению от равновесного по мере закупки акций пассивными инвесторами, а не сразу установится в предельное значение). Даже на неликвидном рынке, где приток денег в акцию в размере 1% от капитализации компании приводит к её росту на 10% (который затем весь будет «растащен» активными инвесторами), потери пассивных инвесторов в пользу активных будут всего лишь 0,05% капитала.

Таким же образом можно оценить потери «пассивных» фондов (и доходы активных) на ребалансировке между классами активов, которые, при оборачиваемости портфеля таких фондов около 15% в год, в пределе выливаются уже в заметные 0,75%г при «коэффициенте ликвидности» равном 0,1 (к слову, доля таких фондов на рынке сейчас порядка 1%, так что пока эти потери меньше 0,0075%г; всего же активы пассивных фондов составляют примерно 10–15% капитализации фондового рынка, и то это с учётом фондов на различные сегменты рынка, а также факторных, которые уже совсем не пассивные). Частный же инвестор на своей ребалансировке терять практически не будет, т.е. его время ребалансировки непредсказуемо и, следовательно, неэксплуатируемо.

Гипотезы об эффективности/неэксплуатируемости рынков позволяют сделать более сильное утверждение о невозможности систематического получения доходности выше среднерыночной даже внутри группы активных инвесторов и даже с учётом перетока капитала через границы рынков (а значит, необязательности для пассивного инвестора иметь строго рыночный портфель, и отсутствия систематически проигрывающих групп активных инвесторов). Однако, они уже не являются математическими доказательствами и работают не всегда (хотя, с повышением информационной прозрачности рынков, можно говорить, что уже практически всегда). Но об этом в другой статье.

Источник: https://onfin.github.io/literacy/zero_sum

Все термины
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: