Граница эффективности Марковица

Содержание
  1. Составление инвестиционного портфеля по Марковицу для чайников
  2. Введение в портфельную теорию
  3. Пример расчетов в Excel
  4. Asset Allocation: портфельный эффект
  5. Что такое портфельный эффект?
  6. Пример поведения портфеля Asset Allocation
  7. Портфели из разных классов активов
  8. Портфельные инвестиции
  9. Теория Марковица на практике
  10. Советы Марковица
  11. Граница эффективности Марковица
  12. Простейший случай
  13. Случай трех компонентов
  14. Портфель из четырех компонентов
  15. Выводы
  16. Эффективность портфеля ценных бумаг (теория Марковица) – SPRINTinvest.RU
  17. Постановка задачи
  18. Риски и диверсификация
  19. Определение меры риска
  20. Эффективные портфели ценных бумаг
  21. Безрисковый портфель ценных бумаг
  22. Эффективный портфель по Марковицу
  23. Портфельная теория Марковица. Формирование инвестиционного портфеля в Excel
  24. Модель Марковица
  25. Цели формирования инвестиционного портфеля
  26. Расчет доходности инвестиционного портфеля Марковица
  27. Оценка риска инвестиционного портфеля Марковица
  28. Эконометрический вид модели Марковица
  29. Пример формирования инвестиционного портфеля Марковица в Excel

Составление инвестиционного портфеля по Марковицу для чайников

Граница эффективности Марковица

В данном обзоре мы представим простой пример составления оптимального инвестиционного портфеля по Марковицу.

Введение в портфельную теорию

Портфельная теория Марковица была обнародована в 1952 году. Позже автор получил за нее Нобелевскую премию.

Целью модели является составление оптимального портфеля, то есть с минимальным риском и максимальной доходностью.

Как правило, решается две задачи: максимизация доходности при заданном уровне риска и минимизация риска при минимально допустимом значении доходности.

Доходность портфеля измеряется как средневзвешенная сумма доходностей входящих в него бумаг.

wi — доля инструмента в портфеле;

ri — доходность инструмента.

Риск отдельного инструмента оценивается как среднеквадратичное (стандартное) отклонение его доходности. Для расчета общего риска портфеля необходимо отразить совокупное изменение рисков отдельного инструмента и их взаимное влияние (через ковариации и корреляции — меры взаимосвязи).

σi — стандартное отклонение доходностей инструмента;

kij — коэффициент корреляции между I,j-м инструментом;

Vij — ковариация доходностей i-го и j-го финансового инструмента;

n — количество финансовых инструментов в рамках портфеля.

Таким образом, в рамках правильно подобранного портфеля риски снижаются за счет обратной корреляции инструментов. При этом устраняются не только специфические риски инструмента, но и снижается систематический (рыночный) риск.

Для составления портфеля решается оптимизационная задача. При этом в базовом виде использование заемных средств не предполагается, то есть сумма долей активов равняется единице, а доли эти положительны.

Минимизируем риск при минимально допустимом уровне доходности

Максимизируем доходность при заданном уровне риска

Пример расчетов в Excel

Оптимальный портфель содержит различные группы активов — акции, облигации, товарные фьючерсы и т.д. Так легче подобрать инструменты с отрицательной корреляцией и минимизировать риски.

В нашем примере будет использован более простой подход — составление портфеля из нескольких американских акций. Для эффекта диверсификации возьмем представителей различных секторов — платежную систему VISA, ритейлера Macy’s, технологичного гиганта Apple и телеком AT&T.

Сразу отмечу, что это лишь пример. Все эмитенты интересны, но для грамотного составления портфеля необходимо учитывать фундаментальные показатели, включая рыночные мультипликаторы, оценивать технические уровни для входа в позицию.
Этап 1.

Выкачиваем котировки. Необходимо взять данные минимум за год. В нашем примере были взяты ежемесячные цены закрытия с 31.06.2017 по 31.05.2018.
Этап 2. Считаем доходности по каждой бумаге.

Для простоты не будем учитывать эффект дивидендов.

Считаем доходность за каждый месяц по формуле натурального логарифма. К примеру, доходность VISA за май 2018 = LN(C14/C13)

Для расчета ожидаемой доходности берем среднее значение за рассматриваемый период. В нашем случае это год. Ожидаемая доходность VISA = СРЗНАЧ(G3:G14)

Получаем отрицательную доходность AT&T, и убираем бумагу из портфеля. Сразу отмечу, что в этом заключается недостаток модели, ведь просевшие ранее акции в перспективе могут развернуться.
Этап 3. Расчет риска каждой акции. Производится по формуле стандартного отклонения. К примеру, риск VISA =СТАНДОТКЛОН(G3:G14)


Этап 4.
Расчет ковариаций между бумагами. Воспользуемся специальной надстройкой в Excel. Для этого выберем в Главном меню → «Данные» → «Анализ данных» → «Ковариация».

Указываем окне входной интервал — ежемесячные доходности акций, а в опции «Группирование» выбираем «по столбцам».

В результате получаем ковариационную матрицу.

Этап 5. Расчет общей доходности портфеля. Для начала установим произвольные доли бумаг в портфеле. Они положительны, их сумма равна 1.

Считаем средневзвешенное значение доходностей отдельных акций. Воспользуемся формулой G15*G23+H15*H23+I15*I23

Этап 6. Расчет общего риска портфеля. Производится по формуле массива КОРЕНЬ(МУМНОЖ(МУМНОЖ(G23:I23;G20:I22); E20:E22))

Этап 7.Портфель минимального риска.

Речь идет о долях отдельных бумаг в портфеле. Для начала необходимо определить минимальный уровень допустимой доходности портфеля (rp). Возьмем rp >= 3,2%.

При оценке долей акций воспользуемся надстройкой в Excel «Поиск решений», для этого выбираем Главное меню → «Данные» → «Поиск решений».

В надстройке «Поиск решений» необходимо ввести ссылку на ячейку, которую следует оптимизировать (общий риск портфеля, минимизируем), ввести какие параметры необходимо изменять (доли акций) и ограничения. Введем ограничения на весовые значения коэффициентов у акций: сумма долей акций должна быть равна 1 и сами доли должны иметь положительный знак.

В результате имеем портфель с 73% долей VISA и 27% долей Macy’s.

Визуально портфель выглядит так:

Этап 8. Портфель максимальной доходности.

Для начала необходимо определить максимальный уровень допустимого риска портфеля (σp). Возьмем σp

Источник: https://bcs-express.ru/novosti-i-analitika/sostavlenie-investitsionnogo-portfelia-po-markovitsu-dlia-chainikov

Asset Allocation: портфельный эффект

Граница эффективности Марковица

Продолжение. Начало:

В предыдущих статьях, посвященных Asset Allocation, были описаны важные вещи: диверсификация, корреляция активов, их риск и доходность. Но это только присказка.

В этой статье вы узнаете, как все это объединяется и работает в единой инвестиционной стратегии, что такое портфельный эффект и как он возникает.

А так же, как составить инвестиционный портфель, чтобы увеличить его доходность и снизить риск. Для начала вспомним  основные моменты.

При выборе активов в портфель нужно помнить четыре правила:

  1. Классы активов должны коренным образом отличаться друг от друга. Например, акции и облигации — очень разные активы: первые представляют собой долю в бизнесе, а вторые — долг. Акции США отличаются от акций других стран: другие валюты, другая экономика. Товары и недвижимость тоже отличаются от акций и облигаций по своей сути. Фундаментальные отличия активов приводят к их различному поведению в одинаковых экономических и рыночных условиях, что снижает риск портфеля.
  2. Корреляция между активами должна быть низкой. Чтобы выявить фундаментальные различия между активами, нужно проанализировать корреляцию между ними, причем желательно за различные периоды. Постоянная высокая корреляция +0,5 и больше означает, что между активами нет большой разницы в плане риска и они ведут себя схожим образом. Низкая положительная или отрицательная корреляция означает, что актив ведут себя по разному и включение таких активов снизит риск портфеля.
  3. Положительная реальная доходность — актив должен иметь положительную реальную (за вычетом инфляции) ожидаемую доходность на долгом сроке. Например, исторически акции США опережали инфляцию примерно на 8%, а государственные облигации на 3%.
  4. Диверсификация — каждый класс активов должен быть диверсифицирован, то есть включать в себя большое количество ценных бумаг. Если что-то случиться с ценными бумагами какой-то одной компании, это слабо отразится на всем портфеле.

Что такое портфельный эффект?

Только грамотно составленный инвестиционный портфель сможет сгенерировать то, что называет портфельный эффект. Если взять два актива — акции и облигации США и составить из них множество портфелей с разными пропорциями, то доходность и риск портфелей на диаграмме будет выглядеть в виде кривой, которая называется границей эффективности Марковица.

На горизонтальной оси представлен риск (стандартное отклонение), на вертикальной — средняя годовая доходность. Точки на линии представляют различные варианты распределения активов в портфеле, начиная от 100% акций до 100% облигаций. Множество точек образует кривую со всевозможным сочетанием пропорций активов в портфеле.

В зависимости от распределения активов и выбранных классов активов эта кривая может изгибаться.

Граница эффективности портфеля

Как видно, портфель, состоящий на 100% из облигаций продемонстрировал низкую доходность и низкий риск, а портфель из акций наоборот — высокую доходность при высоком риске.

На первый взгляд, портфель в пропорции 50:50 по риску и доходности должен оказаться посередине прямой линии, проведенной между крайними точками. Но в реальности риск такого портфеля оказался значительно ниже.

Такой эффект возник в результате ребалансировки портфеля.

Важно отметить, что портфель в пропорции 20% акции:80% облигации оказался менее рискованным, чем 100% облигации, при этом продемонстрировал на доходность на 1,5% больше. Таким образом можно придти к удивительному выводу, что добавление более рискованного актива уменьшило риск портфеля и увеличило его доходность.

Так же можно заметить, что портфель 60% облигации:40% акции по риску был аналогичен портфелю из 100% облигаций, но принес более высокую доходность на 2%. То есть добавление в портфель рискованного актива значительно увеличило его доходность, при этом нисколько не увеличив риск.

Диаграмму можно условно поделить на 4 квадрата, каждый из которых можно описать сочетанием риска и доходности. Например, Нижний правый квадрат — это высокий риск и низкая доходность, а Верхний правый квадрат — высокий риск и высокая доходность.

Наиболее предпочтительным является верхний левый квадрат, где высокая доходность сочетается с низким риском. Именно в этой области лежат самые эффективные портфели.

А самым нежелательным квадратом является правый нижний, где низкая доходность и высокий риск.

Портфельный эффект возникает не всегда: все зависит от подобранных активов. Например, портфель, состоящий из акций крупной капитализации США и акций роста средней капитализации не генерирует портфельного эффекта. Эти активы слишком похожи друг на друга, поэтому ведут себя почти одинаково и имеют высокую корреляцию.

Рассмотренные примеры выше включали только два класса активов: акции и облигации США. Но не стоит ограничиваться только ими. Есть еще такие классы как недвижимость и товарные активы. Кроме того акции и облигации делятся на большое количество подклассов. Посмотрим, как влияет на риск и доходность портфеля добавление в него более двух классов активов.

Ниже на диаграмме представлены границы эффективности портфелей за период с 1973 по 2015 год. В каждый следующий портфель добавляется какой-то новый актив.

Например, первый портфель включает только два актива: акции и облигации США, во второй к этим двум активам прибавлен третий — акции малой капитализации США, в третий портфель добавлены корпоративные облигации и так далее.

Последний, шестой по счету портфель, включает 7 классов активов.

Граница эффективности портфелей 1973-2015

Можно заметить, что с включением каждого нового актива граница эффективности портфеля смещается влево.

Если взять и сравнить риск первого и шестого портфелей, то окажется, что при одинаковой доходности 9%, стандартное отклонение первого портфеля составило 8,88%, а шестого 7,2%.

То есть с включением в портфель каждого нового класса активов его риск уменьшался, а доходность как минимум не падала.

Пример поведения портфеля Asset Allocation

Если взять не теоретическую модель, а реальный портфель, который бы включал разные классы активов, то оценить его динамику можно на следующей диаграмме.

На ней изображены годовые доходности различных классов активов: акции крупной и малой капитализации США (Lg Cap, Sm Cap), акции развитых и развивающихся стран (Intn`l Stk, EM), недвижимость (REIT), высоконадежные и высокодоходные облигации США (HG Bnd и HY Bnd), 3-месячные казначейские векселя (Cash).

Так же на диаграмме присутствует портфель Asset Allocation (AA), который состоит из этих активов. Структура портфеля: 15% Lg Cap, 15% Intn`l Stk, 10% Sm Cap, 10% EM, 10% REIT, 40% HG Bnd с ежегодной ребалансировкой.

Источник: NovelInvestor.com

Средняя годовая доходность портфеля Asset Allocation составила 7,23%, в лучший год он показал +25,9%, а в худший -22,4%.

Можно заметить, что доходность портфеля оказалась лучше некоторых рискованных активов, например, он обогнал индекс S&P 500 и зарубежные акции.

При этом показал отличные результаты по риску, упав в худший год на -22,4%, лучше были только краткосрочные векселя и высоконадежные облигации.

Портфели из разных классов активов

Теперь посмотрим, как включение того или иного класса активов может влиять на риск и доходность портфеля.

Для начала возьмем самый простой портфель из 60% акций США и 40% облигаций США. На промежутке с 1972 по 2015 такой портфель принес среднюю доходность 9,44% при стандартном отклонении 11,62%. Чтобы оценить соотношение риска и доходности портфеля будем использовать коэффициента Шарпа. Чем он больше, тем лучше это соотношение. У данного портфеля коэффициент Шарпа составил 0,43.

Теперь снизим долю акций до 50%, и добавим 10% недвижимости (REIT). Доходность такого портфеля немного больше, чем у первого: 9,66%, а стандартное отклонение ниже: 11,04%. Коэффициент Шарпа чуть лучше и равен 0,47.

США — не единственный рынок акций в мире, поэтому добавим в портфель другие иностранные акции — индекс акций мира без США. Долю облигаций оставим прежней 40%, а долю акций США снизим до 25%.

Доходность такого портфеля на 0,09% больше предыдущего, а риск вырос на 0,02%. Коэффициент Шарпа 0,48.

Иностранные рынки можно поделить на две категории: рынки развитых стран (Европа, Канада, Япония и т.д.) и развивающихся (Китай, Россия, Индия, Бразилия, ЮАР и т.д.).

Если в портфеле индекс стран мира без США заменить на индексы развитых и развивающихся стран, то его доходность значительно увеличилась бы до 10,55%, а риск до 11,96%.

Но при этом коэффициент Шарпа еще улучшился и стал равен 0,52.

Акции отличаются между собой своим размером — капитализацией. Различают акции крупной капитализации (Large), средней капитализации (Middle), малой капитализации (Small) и микро (Micro). Обычно добавление в портфель акций разной капитализации положительно сказывается на его показателях.

Снизим долю широкого индекса акций США до 10% и добавим акции малой капитализации США. В результате это увеличило доходность портфеля до 10,75%, и риск до 12,18%. А коэффициент Шарпа улучшился до 0,53.

Теперь займемся облигациями. Они так же как и акции, делятся на различные категории по сроку погашения, типу эмитента и так далее. Облигации в нашем портфеле до этого момента были представлены широким индексом облигаций США, который включал в себя почти все типы долговых бумаг.

Заменим этот широкий индекс двумя другими: индексом долгосрочных облигаций и индексом краткосрочных облигаций. На профессиональном сленге это называется «гантеля».

Облигации в портфеле по прежнему занимают 40%, но теперь его доходность 10,76%, что почти так же как и у предыдущего портфеля,  но зато риск ниже 11,75%. А коэффициент Шарпа вырос до 0,54.

В нашем портфеле уже три класса активов. Снизим долю акций и облигаций на 5% и включим в портфель еще один класс — золото. Некоторые специалисты скептически относятся к включению золота в портфель, потому что оно не приносит реального дохода. Тем не менее включение небольшой доли золота незначительно снижает доходность портфеля, но зато значительно снижает его риск.

После добавления золота доходность портфеля снизилась совсем немного до 10,66%, а риск снизился заметно до 10,42%. Коэффициент Шарпа максимальный из всех рассмотренных портфелей 0,58.

На диаграмме ниже показано расположение всех портфелей в зависимости от их риска и доходности. Можно оценить, как менялось положение того или иного портфеля, в зависимости от его состава.

Самый простой Портфель 1 имел самую низкую доходность и довольно высокий риск. Добавление недвижимости и иностранных акций (Портфель 2 и 3) снизило риск и немного увеличило доходность.

Разделение иностранных акций по рынкам и добавление акций малой капитализации (Портфели 4 и 5) увеличило доходность портфеля почти на процент, но и риск тоже заметно вырос. Добавление краткосрочных и долгосрочных облигаций вместо широкого индекса (Портфель 6) немного снизило риск, почти не изменив доходность.

Чтобы еще больше снизить риск, мы добавили немного золота (Портфель 7), при этом его доходность упала всего на 0,01%, а коэффициент Шарпа получился самый высокий из всех рассмотренных вариантов.

Подытоживая сказанное, в портфель желательно включать различные классы активов. Каждый класс активов лучше всего делить на подклассы, например включать акции разных стран, разной капитализации и стиля.

А в долю, отведенную под облигации, лучше включать ценные бумаги разного срока погашения.

Золото и недвижимость относят к так называемым альтернативным активам, и их включение тоже может положительно сказаться на показателях портфеля.

Стоит сказать, что продемонстрированные в этой статье портфели являются всего лишь примерами, а не готовыми решениями для инвестора. Какие классы активов и в какой пропорции нужно включать в портфель зависит от многих индивидуальных параметров инвестора, и с таким вопросом лучше обращаться к профессиональному финансовому консультанту.

Источник: https://activeinvestor.pro/asset-allocation-portfelnyj-effekt/

Портфельные инвестиции

Граница эффективности Марковица
Если бы вы знали будущее, вам не понадобилась бы Портфельная Теория.

Эти слова принадлежат Гарри Марковицу, лауреату Нобелевской премии по экономике, одному из крупнейших специалистов в академических финансах.

В 1952 году Марковиц написал статью под названием «Выбор портфеля», сформулировав ту самую портфельную теорию, которую используют инвесторы, которые не могут заглянуть в будущее. Но они могут сгладить будущие риски, используя преимущества диверсификации портфеля инвестиций и других ограничений.

Диверсификация означает выбор разрозненных активов, которые ведут себя по-разному в одних и тех же условиях.

идея теории Марковица – доходы напрямую связаны с рисками, которые инвестор должен не только оценивать, но и контролировать.  

 «Существует компромисс между риском и доходностью. Человек сталкивался с риском еще со времен саблезубого тигра. Если вы не рискуете, то не можете выйти собрать урожай или отстреливать тигров и медведей. Человек рождается в рискованном мире и живет в рискованном мире. И через десять лет этот мир будет рискованным, пока вы хотите зарабатывать деньги и инвестировать деньги». Г.Марковиц

Это примерно то, что я говорю беспокойным инвестором. Мир финансов всегда будет связан с неопределённостью и рисками. С этим придётся жить.

Теория портфеля ценных бумаг помогает инвестору увеличить ожидаемую прибыль и сократить риски. То есть решает две задачи:

— максимизация доходности при заданном уровне риска

— минимизация риска при минимально допустимом значении доходности.

Теория Марковица на практике

Если объяснять без построения кривой риска/доходности и выгрузки данных в таблицу Excel, то пример формирования портфеля по Марковицу выглядит так.

После анализа данных доходности и риска инвестиционных инструментов прошлых лет вкладчик приступает к формированию портфеля. При этом для получения минимальных рисков ему нужно в одном портфеле собрать несколько наименее коррелируемых активов: чем выше степень диверсификации портфеля ценных бумаг, тем меньше риски.

Корреляция – это взаимосвязь, похожесть. Снижение корреляции через диверсификацию – это выбор не связанных по своим свойствам активов. А часто – взаимно противоположных.

Например, акции (как доля в бизнесе) и недвижимость в кризис ведут себя по-разному. Падают и те, и те, но степень падения разные: акции самых «подвижных» в цене, или волатильных, бизнесов – могут снижаться до 50%.

Недвижимость упадёт при этом процентов на 10. Общая просадка в портфеле при соотношении того и другого 50/50 составит до 30%, что менее рискованно, чем вкладываться просто в акции.

И вовсе не факт, что менее доходно! Потому что и недвижимость, и акции в хорошие времена могут расти схожими темпами.

Другой пример. Инвестор может сформировать портфель из акций авиакомпаний и нефтедобывающих компаний, котировки которых напрямую зависят от цены на нефть. Когда стоимость нефти растет, цена на акции авиакомпаний начинает снижаться, а цена на акции нефтедобывающих компаний начинает расти. Таким образом, эти две компании обратно коррелируемы.

Как и все фундаментальные труды, теория Марковица имеет свои плюсы и минусы. К плюсам относят cледующее:

  • портфель формируется на принципах стабильности;
  • благодаря математическому аппарату процесс формирования инвестиционного портфеля можно довести до автоматизма. Что и сделано через создание рынка индексов и привязанных к ним инвестиционных инструментов – ETF, которые управляются автоматически и поэтому несут очень низкие комиссии за управление.

Минусом теории называют называют то, что хорошо она работает только на растущем рынке, так великолепно изученном Марковицем. Если на рынке ценных бумаг происходит спад —  теорию можно считать бесполезной. Если мы видим дефляционный кризис, когда цены падают, как сейчас – тоже непонятно, что делать. Также нет четких критериев для входа или выхода из инструмента и методов прогноза.

Марковиц сделал гениальную для своего времени вещь, продвинув инвестирование вперёд по пути эволюции.

Из попыток угадать конкретный актив мир перешёл в новую эпоху пассивного портфельного инвестирования – когда люди вкладываются в классы активов и балансируют портфель по понятным математическим законам.

Так инвестирование стало доступно каждому. Так появилась огромная индустрия фондов, которые аккумулировали на сегодня более 50% мирового капитала!

Мы больше не предсказываем будущее. Мы действуем так, чтобы при любом будущем выйти в выигрыш.

Портфельная теория развивается в комплексные стратегии инвестирования, где мы комбинируем инструменты таким образом, чтобы они дополняли друг друга и прикрывали от рисков. Так 1+1 становится больше, чем 2.

В этом смысле Марковиц стал кем-то вроде Юнга для экономики: из его взглядов выросло целое поколение экономистов, которые взгляды эти расширили и дополнили.

Однако мир не стоит на месте. Сейчас на дворе не 1952 год, и существуют множество факторов, не учтённых Марковицем. Глобализация. Цифровая экономика. Дефляционный сценарий развития. Да много чего произошло! Последователи Марковица, конечно, расширили его теорию на новые тенденции. Но со временем она работает всё хуже и хуже, это тоже нельзя не признавать.

Сейчас уже существуют математические модели, опровергающие теорию Марковица на современной действительности. Что же, ждём новую теорию, которая продвинет нас и мировые финансы ещё дальше!

Советы Марковица

«Чтобы получить высокую доходность при заданном уровне риска, вам необходимо диверсифицировать», — говорит Марковиц. Но при этом автор теории подчеркивает, что диверсификация означает разные вещи для разных людей.

Иметь диверсифицированный портфель – не означает просто иметь много акций.

Портфель должен быть эффективным и состоять, например,  из акций крупной капитализации и малой капитализации, акций стоимости и роста, зарубежных и местных бумаг.

Из акций, облигаций, фондов недвижимости, золота. Иметь диверсифицированный портфель – значит изучить свойства инструментов и готовить из них «авторские» блюда под себя!

«Не обязательно находиться в точности на Границе Эффективности (совокупности всех эффективных портфелей, которые только могут быть — авт.) Но если вы не находитесь где-то рядом с ней, то всякий раз, когда будет происходить кризис, как в 2000 г. или 2008 г., у вас будут проблемы», —  считает известный экономист.

Даже продавцу из соседнего магазина лауреат Нобелевской премии с длинным списком корпоративных клиентов (крупнейшим из которых  является McDonalds) советует положить половину денег на сберегательный счет, а другую  вложить в хорошо диверсифицированный портфель акций.

Если упрощать, для широкого круга клиентов Теория Марковица означает «не класть все яйца в одну корзину», по сути это и будет являться минимизацией риска для заданной доходности через диверсификацию.

Однако умный портфель – это не портфель, собранный из чего попало. Диверсификация ради диверсификации ни к чему хорошему не приводит. Я могу научить Вас самостоятельно составлять инвестиционный портфель! Не откладывайте на потом! 

Записывайтесь на первую консультацию с очень большой скидкой!

Источник: https://zen.yandex.ru/media/smartfinway/portfelnye-investicii-5ed26c727262121a72c2cdc1

Граница эффективности Марковица

Граница эффективности Марковица

Портфельная теория Марковица лежит в основе современного метода инвестирования. А базовым камнем этой теории является граница эффективности, которая нередко вызывает трудности в понимании, что влечет искаженные представления об инвестиционном процессе. Ниже я попробую рассказать о границе эффективности по возможности простым языком.

Простейший случай

Самый простой случай, которым часто иллюстрируют эффективную границу — это портфель из американских акций и облигаций. Американский рынок имеет наиболее прослеживаемую историю: данные по нему можно получить с 1926 года. Вот так выглядит картина границы эффективности на рынке США с 1926 по 2013 годы:

По оси Y у нас среднегодовая доходность, по оси Х — стандартное отклонение (колебания относительно средней доходности актива). В этом случае эффективная граница описывает все существующее множество портфелей. Как именно?

Нижняя точка — это среднесрочные пятилетние облигации. Иначе говоря, их держатель в периоде с 1926 по 2013 годы получил бы в среднем почти 10% годовых.

Очень хорошая на сегодня доходность, сравнимая со средней доходностью акций — но стоит учитывать, что в 40-е и 70-е годы в США наблюдалась высокая инфляция и в эти периоды держателям облигаций не удавалось сохранить даже номинальную стоимость денег.

Верхняя правая точка означает доходность держателей акций американского рынка. Она ожидаемо выше — около 13.5% годовых, но и достигнута с заметно большим риском.

Это значит, что держатели акций испытывали сильные просадки — несомненно, самая сильная была в Великую Депрессию, когда падение рынка США за 1929-1932 годы составило 90%.

Вряд ли тогда кто-то верил в будущие перспективы американской экономики — но наш гипотетический держатель был вознагражден за риск. Кажется, что преимущество в 3.5% годовых не такое уж большое — но на дистанции разрыв в доходности получается громадным:

Наиболее интересным выглядит случай портфеля из 80% облигаций и 20% акций. Как мы видим из графика, такая комбинация обеспечила бы инвестору больший доход, чем в случае облигаций, и одновременно снизила бы общие колебания портфеля.

Т.е. в плане риска такой портфель был бы менее рискованным, чем 100% консервативных облигаций! И при этом более доходным!

Выводом отсюда можно считать добавление небольшой доли акций в портфель даже тех инвесторов, которые консервативно относятся к своей доходности, предпочитая минимизировать просадки. Теперь рассмотрим тот же самый портфель с 1978 года:

Как видим, общая структура сохраняется. Высокая доходность облигаций здесь достигнута за счет очень высоких процентных ставок в конце 70-х — начале 80-х годов. Доходность акций также близка к предыдущему случаю и составляет около 12.5% годовых. Однако точка перегиба с минимальным стандартным отклонением будет иметь немного другой состав: около 35% акций и 65% облигаций.

Итого, при долгосрочном инвестировании мы можем ожидать превышение доходности акций над облигациями. Но это не всегда так даже на достаточно длинном периоде.

Например, выбрав интервал с начала 2000 года мы включаем в отрезок 18 лет два сильных кризиса американского рынка: пузырь доткомов и пузырь недвижимости. Читайте о них здесь и здесь.

И в этом случае долгосрочные облигации оказываются немного более доходным активом:

Интересно, что при этом точка перегиба имеет практически тот же состав: 35% акций и 65% облигаций. Откуда можно сделать вывод, что при долгосрочных инвестициях соотношение около 70% облигаций и 30% акций может подойти консервативному инвестору.

Случай трех компонентов

Однако ситуация резко меняется с добавлением третьего компонента, поскольку стремительно расширяется число возможных вариантов: из плоскости мы переходим в трехмерное измерение. В выбранных координатах доходность-риск они уже не будут помещаться на кривой эффективности (= границе эффективности), а займут некоторую область внутри этой границы, которую графически можно указать так:

Чем правее и ниже от границы эффективности будут наши точки (портфели), тем больше риска придется брать инвестору и тем более низкую доходность он получит.

Соответственно, взяв произвольную точку из глубины, мы получаем две возможности увеличить эффективность портфеля. А именно — двигаясь влево вдоль оси х мы не меняем доходность, но уменьшаем риск.

А двигаясь вертикально вверх мы сохраняем уровень риска, но увеличиваем доходность:

При этом варианты, лежащие на кривой эффективности, необязательно должны содержать портфель из всех трех компонентов — там вполне могут быть только два. Рассмотрим пример трехкомпонентного портфеля из американских акций, долгосрочных облигаций и золота:

Здесь нижняя часть границы эффективности представлена в виде прямой линии и состоит только из двух компонентов: золота и долгосрочных облигаций. Акции появляются выше и в точке перегиба портфель с минимальным риском состоит из 45% облигаций, 50% акций и 5% золота.

Такую точку можно представить в трехмерном пространстве как вершину горы — движение оттуда в любом направлении ведет вниз, т.е. увеличит риски портфеля.

В другой формулировке повышение доходности портфеля из этой точки возможно лишь при принятии большего риска.

Выбранный мной портфель (Provided Portfolio) с равными долями всех компонентов оказывается недалек от эффективной границы — он имеет примерно равную с точкой перегиба доходность в 9.5% годовых и является чуть более рискованным.

Верхняя часть кривой не содержит золота. Интересно, что в данном случае заметно более доходный актив в виде американских акций оказывается менее рискованным, чем самый низкодоходный — золото. Т.е.

имея возможность инвестировать в американские акции, облигации и золото в любом соотношении худшим вариантом был бы вложить все деньги в золото. Но даже в этом случае доходность составила бы 6.8% годовых.

Инфляция в США с 1978 по 2018 год составила около 3.5% в год.

Портфель из четырех компонентов

Картина принципиально не изменится, если мы добавим в рассмотрение четвертый компонент — акции других стран, кроме США:

Здесь портфель в точке перегиба содержит только три компонента: 40% американских акций, 53% облигаций и 7% золота. Портфель с равными долями вновь оказывается недалек от эффективной границы.

Интересно, что глобальные акции оказались по доходности лишь чуть выше долгосрочных американских облигаций — но одновременно были самым рискованным компонентом.

При этом можно заметить, что эффективная граница немного больше выгнута влево, чем в предыдущих случаях — увеличение числа компонентов повышает число комбинаций, снижающих риск портфеля.

Выводы

Можно лишь предполагать, какой актив окажется на вашем горизонте инвестирования самым доходным. На длинных участках это как правило акции — но между тем вариант 2000-2018 года показывает, что это не всегда так. К тому же акции можно разбить на американские, развитых и развивающихся рынков. Кто придет первым?

Золото, оказывавшееся внизу диаграмм, на промежутке с 2000 по 2010 годы заметно обогнало американский рынок.

В общем случае для одного класса активов (скажем, акций США) у нас есть две неизвестных: будущая доходность на нужном нам промежутке времени, и риск, с которым эта доходность будет достигнута.

В случае двух компонентов сюда добавляется их взаимное поведение (корреляция). Т.е. уже в случае двух точек (например, акций и облигаций) мы имеем пять неизвестных. И т.д.

Поэтому у инвестора нет задачи составить самый эффективный портфель. Да и эффективность понятие относительное — для кого-то она в минимизации риска, для кого-то в максимизации доходности. Но рассмотрев совокупность вариантов инвестор может избежать тех из них, которые исторически наиболее часто показывали наихудшую доходность и высокий риск.

Источник: https://investprofit.info/efficient-frontier-markovitz/

Эффективность портфеля ценных бумаг (теория Марковица) – SPRINTinvest.RU

Граница эффективности Марковица

Эффективность инвестирования на фондовом рынке определяется эффективностью портфеля ценных бумаг.

Теоретическая мысль способна предложить широкий спектр методов определения эффективности инвестиционного портфеля.

Сегодня мы рассмотрим этот вопрос с позиций эффективного портфеля Марковица, впервые предложившего математическую модель оценки эффективности портфеля ценных бумаг.

Даже если вы не собираетесь использовать математический аппарат для оценки эффективности собственного инвестиционного портфеля, я рекомендую дочитать статью до конца.

Помимо формул, здесь будут приведены весьма любопытные иллюстрации, размышление над которыми способно упрочить и существенно продвинуть ваши познания в теории инвестирования…

Постановка задачи

Начнем с формулировки задачи. Допустим, мы оказались в ситуации, когда нам необходимо продать ценную бумагу.

Нам известна ее первоначальная стоимость (цена, по которой мы ее приобрели), но неизвестна цена продажи, а также размер дивидендов, которые мы рассчитываем получить за период обладания ценной бумагой.

Очевидно, эффективность продажи ценной бумаги будет столь же непредсказуема, как и любая случайная величина.

Обозначим ее Xt. Численное значение этой величины можно рассчитать по формуле:

Xt = (Pt+1 – Pt) / Pt, где

Pt – цена, по которой ценная бумага приобреталась в момент времени t,

Pt+1 – цена ценной бумаги, по которой она была реализована в момент времени t+1.

Ожидаемая эффективность финансовых вложений в ценную бумагу будет зависеть от параметра Xt.

Фактически речь идет о некоторой функции, представляющей собой математическое ожидание наступления события Xt.

Обозначим эту функцию значением m, причем m = U (X).

Риски и диверсификация

Математическое обоснование эффективности инвестиционного портфеля учитывает два основных типа инвестиционных рисков:

[1] систематические (не зависящие от воли участников инвестиционного процесса, например, политические или страновые риски) и

[2] несистематические (привязаны к конкретным объектам инвестирования, включая акционерные общества, компании, предприятия).

Важное замечание: систематические риски не подвержены воздействию диверсификации; несистематические, напротив, весьма восприимчивы к воздействию диверсификации, и благодаря ей вообще могут быть сведены к нулю.

Словосочетание «безрисковый портфель» означает лишь хорошо диверсифицированный портфель, избавленный от влияния несистематических рисков.

Полностью уберечь инвестиционный портфель от систематических рисков невозможно.

К сожалению, безрисковые портфели имеют практически нулевую доходность.

Волей-неволей большинству инвесторов приходится смещать свои финансовые интересы в сторону более рискованных финансовых инструментов, чтобы обеспечить получение требуемой доходности…

Определение меры риска

Итак, мы приняли за эффективность избранной нами ценной бумаги случайную (с точки зрения теории вероятности) величину X.

Тогда мерой риска этой величины будет ее ДИСПЕРСИЯ. На языке формул значение меры риска (дисперсии) можно записать так:

Z = U {(X – m)2}.

Величина Z всегда больше либо равна нулю.

Чем меньше значение Z, тем ниже степень риска, присущая соответствующей ценной бумаге (или – тут большой разницы нет — портфелю ценных бумаг).

Ежели Z = 0, мы имеем дело с безрисковым портфелем.

Эффективные портфели ценных бумаг

Пришла пора сделать наши рассуждения более наглядными. В частности, обратим внимание на нижеследующую диаграмму:

Здесь изображены четыре инвестиционных портфеля (точки 1, 2, 3 и 4).

Если портфель расположен правее, значит, степень риска у него больше. Если портфель ценных бумаг расположен выше, значит, его эффективность также выше.

Другими словами, эффективность портфелей 1, 2 и 3 одинакова и при этом ниже эффективности портфеля 4.

Самым рискованным здесь является портфель 3, а наименьшим риском характеризуется портфель 1.

Кривая оранжевого цвета знаменует собой границу эффективных портфелей.

Эта граница образуется множеством портфелей, характеризующихся максимальной эффективностью при заданном уровне риска.

Профессиональный инвестор будет стремиться выбирать наиболее эффективный и наименее рискованный инвестиционный портфель.

Портфели 1 и 4 являются эффективными, а их собратья под номерами 2 и 3 – нет.

Чем ближе инвестиционный портфель расположен к кривой, обозначающей границу эффективных портфелей, тем он ЭФФЕКТИВНЕЕ.

Безрисковый портфель ценных бумаг

Интересен взгляд на портфель ценных бумаг с так называемым нулевым инвестиционным риском (σ0) и некоторой заданной эффективностью (m0).

На графике этому портфелю соответствует точка A.

Этот портфель более предпочтителен для инвестора, нежели портфель 1, поскольку характеризуется меньшим риском и значительно большей эффективностью (нормой доходности).

Чтобы его сформировать, потребуется включить в него как безрисковые ценные бумаги, так и финансовые вложения в портфель 4 в пропорции [σ0 / σ4] к [(σ4 – σ0)/ σ4].

Эффективный портфель по Марковицу

Все теоретические выкладки, приведенные выше, заимствованы нами из теории эффективности портфеля ценных бумаг Гарри Марковица.

Именно ему принадлежит честь первой (1951 г.) математической формулировки основной задачи, туманящей мозг инвесторам: определения структуры портфеля, которая при известном уровне доходности характеризовалась бы минимальным инвестиционным риском.

Если опираться на нашу диаграмму, эффективный портфель – это точка, которая катится по кривой, соответствующей границе эффективных портфелей.

Именно эта кривая отвечает условиям сформулированной выше задачи.

Решение обозначенной задачи в рамках теории Марковица, однако, требует большого объема статистических данных за максимально продолжительный период функционирования фондового рынка, которым могут похвастаться лишь немногие высокоразвитые страны мира (США, Германия, Франция и т.п.). Россия пока «пролетает» мимо этого списка…

Между тем, применение изложенных в статье методов для оценки эффективности портфелей ценных бумаг с каждым годом становится более обоснованным.

Источник: https://sprintinvest.ru/effektivnost-portfelya-cennyx-bumag-markovica

Портфельная теория Марковица. Формирование инвестиционного портфеля в Excel

Граница эффективности Марковица

Приведем пример формирования инвестиционного портфеля по модели Г. Марковица с помощью программы Excel, разберем достоинства и недостатки данной модели в современной экономике и пути их решения. 

Инвестиционный портфель – это совокупность различных финансовых инструментов, удовлетворяющих цели инвестора и, как правило, заключается в создании таких комбинаций активов, которые бы обеспечили максимальную доходность при минимальном уровне риска.

Пройдите наш авторский курс по выбору акций на фондовом рынке → обучающий курс

Модель Марковица

Пройдите наш авторский курс по выбору акций на фондовом рынке → обучающий курс

Г. Марковиц в 1952 году впервые предложил математическую модель формирования инвестиционного портфеля.

В основе его модели лежат два ключевых показателя любого финансового инструмента: доходность и риск, которые были количественно измерены.

Доходность по модели представляет собой математическое ожидание доходностей, а риск определяется как разброс доходностей возле математического ожидания и рассчитывается через стандартное отклонение.

★ Инвестиционная оценка в Excel. Расчет NPV, IRR, DPP, PI за 5 минут

До модели Г. Марковица инвестирование происходило, как правило, в выборочные активы или финансовые инструменты, предложенная же им модель позволила снизить систематические (рыночные) риски за счет группировки активов с отрицательной корреляцией доходностей.

Следует заметить универсальность модели, так инвестиционный портфель может быть технически составлен для любых видов финансовых инструментов и активов: акций, облигаций, фьючерсов, индексов, недвижимости и т.д.

Цели формирования инвестиционного портфеля

Выделяют две инвестиционные стратегии при формировании портфеля:

Максимизации доходности инвестиционного портфеля при ограниченном уровне риск.

Минимизация риска инвестиционного портфеля при минимально допустимом уровне доходности.

Расчет доходности инвестиционного портфеля Марковица

Общая доходность портфеля будут представлять собой взвешенную сумму доходностей каждого отдельного финансового инструмента (актива):

где:

rp – доходность инвестиционного портфеля;

w – доля i-го финансового инструмента в портфеле;

ri – доходность i-го финансового инструмента.

Оценка риска инвестиционного портфеля Марковица

Пройдите наш авторский курс по выбору акций на фондовом рынке → обучающий курс

В модели Г. Марковица риск отдельно взятого финансового инструмента рассчитывается как стандартное отклонение доходностей. Для расчета общего риска портфеля необходимо отразить их совокупное изменение и взаимное влияние (через ковариацию), для этого воспользуемся следующей формулой:

где:

σp – риск инвестиционного портфеля;

σi – стандартное отклонение доходностей i-го финансового инструмента;

kij – коэффициент корреляции между I,j-м финансовым инструментом;

wi – доля i-го финансового инструмента (акций) в портфеле;

Vij – ковариация доходностей i-го и j-го финансового инструмента;

n – количество финансовых инструментов инвестиционного портфеля.

Эконометрический вид модели Марковица

Для того чтобы сформировать инвестиционный портфель необходимо решить оптимизационную задачу.

Существует два вида задач: поиск долей акций в портфеле для достижения максимальной эффективности при заданном уровне риска (σp) и минимизация риска при заданном уровне доходности портфеля (rp).

Помимо этого на уравнения накладываются дополнительные очевидные ограничения: сумма долей активов должна быть равна 1 и сами доли активов должны быть положительными.

В таблице ниже показаны формулы и наложенные на них ограничения для поиска оптимальных долей финансовых инструментов (акций).

Портфель Марковица минимального рискаПортфель Марковица максимальной эффективности

Пример формирования инвестиционного портфеля Марковица в Excel

Пройдите наш авторский курс по выбору акций на фондовом рынке → обучающий курс

Рассмотрим наглядный пример формирования инвестиционного портфеля по модели Г. Марковица в программе Excel.

Наш портфель будет состоять из четырех отечественных акций: ОАО «Газпром» (GAZP), ОАО «Норильский никель» (GMKN), ОАО «Мечел» (MTLR) и ОАО «Сбербанк» (SBER).

Были взяты акции различных секторов: нефтегазового, промышленного и финансового, такой выбор увеличивает диверсификацию портфеля и снижает его рыночный риск.

Источник: https://finzz.ru/formirovanie-investicionnogo-portfelya-markovica-v-excel.html

Все термины
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: