АСИМПТОТА

Асимптоты графика функции

АСИМПТОТА

Часто задание на нахождение асимптот функции встречается в курсе математического анализа, в частности при решении задач на тему исследования функции.

Для того, чтобы успешно ответить на вопрос: как найти асимптоты функции? необходимо уметь вычислять пределы, понимать что они собой представляют, знать основные методы решения пределов. Если всё это вы умеете на должном уровне, тогда найти асимптоты для вас не будет проблемой.

Итак, что такое асимптота? Асимптота это линия, к которой бесконечно приближается ветвь графика функции. Чтобы было наглядно, посмотрите на изображения представленные ниже.

Обратите внимание, что соприкосновения между асимптотой и графиками нет, и не должно быть. Асимптота бесконечно приближается к графику функции. Давайте рассмотрим какие виды асимптоты функции бывают и как их находить, но о последнем будет рассказано далее.

Из таблицы узнаем, что асимптоты у функции бывают трех видов: вертикальные, горизонтальные, наклонные. Каждую найти асимптоту функции нужно по своему. Для этого нужны лимиты. Сколько бывает асимптот всего у функции? Ответ: ни одной, одна, две, три… и бесконечно много. У каждой функции по разному.

Вертикальные асимптоты

Чтобы найти данный вид асимптот необходимо найти область определения заданной функции и отметить точки разрыва. В этих точках предел функции будет равен бесконечности, а это значит, что функция в этой точке бесконечно приближается к линии асимптоты.

Горизонтальные асимптоты

Необходимо устремить аргумент лимита функции к бесконечности. Если предел существует и равен числу, то горизонтальная асимптота будет найдена и равна $ y=y_0 $ как показано во втором столбце таблицы

Наклонные асимптоты

Наклонная асимптота представляется в виде $ y = kx+b $. Где $ k $ — это коэффициент наклона асимптоты. Сначала находится коэффициент $ k $, затем $ b $.

Если какой либо из них равен $ \infty $, тогда наклонной асимптоты нет. А если $ b = 0 $, то получаем горизонтальную асимптоту.

Так что для экономии времени лучше сразу находить наклонную асимптоту, а горизонтальная проявится сама собой в случае её существования.

Примеры решений

Пример 1
Найти все асимптоты графика функции $$ f(x) = \frac{5x}{3x+2} $$
Решение
Для начала решения найдем вертикальные асимптоты, но прежде найдем область определения функции $ f(x) $. По определению знаменатель не должен быть равен нулю. Поэтому имеем, $ 3x+2 eq 0; 3x eq -2; x eq -\frac{2}{3} $. Получили точку разрыва $ x = -\frac{2}{3} $. Вычислим в ней предел функции и убедимся окончательно, что вертикальная асимптота это $ x = -\frac{2}{3} $.$$ \lim\limits_{{x \rightarrow -\frac{2}{3}}} \frac{5x}{3x+2} = (-\frac{10}{\infty}) = -\infty $$.Теперь найдем горизонтальные асимптоты, но прежде рассчитаем коэффициенты $ k $ и $ b $.$$ k = \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x} =\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{5}{3x+2}=\frac{5}{\infty}=0 $$Так как $ k = 0 $, то мы уже понимаем то, что наклонных асимптот нет, а есть горизонтальные. Найдем теперь коэффициент $ b $.$$ b = \lim\limits_{x \rightarrow \infty} [f(x)-kx] = \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{5x}{3x+2} = \frac{\infty}{\infty} =\frac{5}{3} $$Подставляем найденные коэффициенты в формулу $ y = kx + b $, получаем, что $ y = \frac{5}{3} $ — горизонтальная асимптота.Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Ответ
$$ y = \frac{5}{3} $$
Пример 2
Найти все асимптоты графика функции $ f(x) = \frac{1}{1-x} $
Решение
Найдем область определения данного примера, чтобы определить вертикальные асимптоты. $ 1-x eq 0; x eq 1; $. Точка разрыва $ x = 1 $, а это значит что это и есть вертикальная асимптота. Найдем для доказательства предположения предел в этой точке. $$ \lim\limits_{x \rightarrow 1} \frac{1}{1-x} = \frac{1}{0} = \infty $$Приступим к поиску наклонных асимптот.$$ k = \lim\limits_{x \rightarrow \infty}\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\frac{1}{x(1-x)} = \frac{1}{\infty}=0 $$$$ b =\lim\limits_{x \rightarrow \infty}[f(x)-kx]=\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\frac{1}{1-x} = \frac{1}{\infty}=0 $$Итого, $ y=0 $ — горизонтальная асимптота.
Ответ
$$ y=0 $$
Пример 3
Найти все асимптоты графика функции $ f(x) = \frac{x3}{3×2+5} $
Решение
Замечаем, что знаменатель не обращается в ноль при любом значении икса. А это значит, что нет точек разрыва и следовательно нет вертикальных асимптот. Остается найти горизонтальные асимптоты.$$ k = \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x} =\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\frac{x2}{3×2+5} =\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{2x}{6x} = \frac{1}{3} $$Так как $ k $ конечное число, не равное $ 0 $ или бесконечности, то существует наклонная асимптота. Вычислим недостающее число $ b $.$$ b =\lim\limits_{x \rightarrow \infty} [f(x)-kx] =\lim\limits_{x \rightarrow \infty} [\frac{x3}{3×2+5}-\frac{x}{3}] =\lim\limits_{x \rightarrow \infty} -\frac{5x}{3(3×2+5)}= $$ $$ = -\frac{5}{3}\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{x}{3×2+5} =-\frac{5}{3}\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{6x} =-\frac{5}{3}\frac{1}{\infty} = 0 $$$ y =\frac{1}{3}x $ — наклонная асимптота к функции с углом наклона одна третья.
Ответ
$$ y =\frac{1}{3}x $$
Пример 4
Найти асимптоты $ f(x) = xe{-x} $
Решение
Нет точек разрыва, а это значит, нет вертикальных асимптот.$$ k=\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{ex} = \frac{1}{\infty} = 0 $$$$ b=\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{x}{ex} =\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{ex} = \frac{1}{\infty} = 0 $$$ y = 0 $ — горизонтальная асимптота
Ответ
$$ y = 0 $$

Если в задачах даются элементарные функции, то заранее известно сколько и есть ли асимптоты. Например, у параболы, кубической параболы, синусоиды вообще нет никаких. У графиков функций таких как логарифмическая или экспоненциальная есть по одной. А у функций тангенса и котангенса бесчисленное множество асимптот, но арктангенс и арккатангенс имеет по две штуки.

Во всех приведенных примерах пределы вычислялись с помощью правило Лопиталя, которое очень ускоряет процесс вычисления и создает меньше ошибок.

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ

Источник: https://xn--24-6kcaa2awqnc8dd.xn--p1ai/kak-najti-asimptoty-funkcii.html

Асимптоты графиков функций

АСИМПТОТА

Справочник по математикеЭлементы математического анализаФункции

      Во многих разделах нашего справочника приведены графики различных функций. Для многих функций существуют прямые, к которым графики функций неограниченно приближаются. Такие прямые называют асимптотами, и их точное определение мы дадим чуть позже.

Как мы увидим далее, асимптоты бывают вертикальными, горизонтальными и наклонными. С вертикальными и горизонтальными асимптотами графика функции мы уже встречались, в частности, в разделе «Гипербола на координатной плоскости. График дробно-линейной функции». С наклонными асимптотами, за исключением горизонтальных, мы пока еще дела не имели.

      Определение 1. Говорят, что   x   стремится к   x0   слева и обозначают

x → x0 – 0 ,

если   x   стремится к   x0   и   x   меньше   x0 .  

      Говорят, что   x   стремится к   x0   справа и обозначают

x → x0 + 0 ,

если   x   стремится к   x0   и   x   больше   x0 .

      Определение 2. Прямую

x = c

называют вертикальной асимптотой графика функции   y = f (x)   при   x ,   стремящемся к   с   справа, если функция   y = f (x)   определена на некотором интервале   (с, d)   и выполнено соотношение выполнено соотношение

при   x → c + 0

      Прямую

x = с

называют вертикальной асимптотой графика функции   y = f (x)   при   x ,   стремящемся к   с   слева, если функция   y = f (x)   определена на некотором интервале   (d, c)   и выполнено соотношение выполнено соотношение

при   x → c – 0

      Пример 1. Прямая

x = 2

является вертикальной асимптотой графика функции

как справа, так и слева (рис. 1)

Рис.1

      Пример 2. Прямая

x = 0

является вертикальной асимптотой графика функции

y = ln x

при   x ,   стремящемся к   0   справа (рис. 2)

Рис.2

Горизонтальные асимптоты как частный случай наклонных асимптот

      Определение 4. Прямую

y = b

называют горизотальной асимптотой графика функции   y = f (x)   при   x ,   стремящемся к , если функция   y = f (x)   определена на некотором интервале и выполнено соотношение выполнено соотношение

      Прямую

y = b

называют горизотальной асимптотой графика функции   y  f (x)   при   x ,   стремящемся к , если функция   y = f (x)   определена на некотором интервале и выполнено соотношение выполнено соотношение

      Замечание. Из определений 3 и 5 вытекает, что горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной асимптоты   y = kx + b,   когда угловой коэффициент прямой   k = 0 .

      Пример 3. Прямая

y = 3

является горизонтальной асимптотой графика функции

как при   x ,   стремящемся к , так и при   x ,   стремящемся к (рис. 3)

Рис.3

      Пример 4. Прямая

y = 0

является горизонтальной асимптотой графика функции

y = 2x

при   x ,   стремящемся к (рис. 4)

Рис.4

      Пример 5. График функции  y = arctg x   (рис.5)

Рис.5

имеет две горизонтальные асимптоты: прямая

является горизонтальной асимптотой графика функции при , а прямая

является горизонтальной асимптотой графика функции при .

Поиск наклонных асимптот графиков функций

      Для того, чтобы найти наклонную асимптоту графика функции   y = f (x)   при (или убедиться, что наклонной асимптоты при не существует), нужно совершить 2 операции.

      Первая операция. Вычислим предел предел

(1)

      Если предел (1) не существует или существует, но равен существует, но равен, то делаем вывод о том, что у графика функции   y = f (x)   при наклонных асимптот нет.

      Если предел (1) существует и равен некоторому числу предел (1) существует и равен некоторому числу, то, обозначив это число буквой   k ,  

переходим ко второй операции.

      Вторая операция. Вычислим предел предел

(2)

      Если предел (2) не существует или существует, но равен существует, но равен, то делаем вывод о том, что у графика функции   y = f (x)   при наклонных асимптот нет.

      Если предел (2) существует и равен некоторому числу предел (2) существует и равен некоторому числу, то, обозначив это число буквой   b ,

делаем вывод о том, что прямая

y = kx + b

является наклонной асимптотой графика функции   y = f (x)   при .

      Совершенно аналогично поступаем для того, чтобы найти наклонную асимптоту графика функции   y = f (x)   при (или убедиться, что наклонной асимптоты при не существует).

      Первая операция. Вычислим предел предел

(3)

      Если предел (3) не существует или существует, но равен существует, но равен, то делаем вывод о том, что у графика функции   y = f (x)   при наклонных асимптот нет.

      Если предел (3) существует и равен некоторому числу предел (3) существует и равен некоторому числу, то, обозначив это число буквой   k ,

переходим ко второй операции.

      Вторая операция. Вычислим предел предел

(4)

      Если предел (4) не существует или существует, но равен существует, но равен, то делаем вывод о том, что у графика функции   y = f (x)   при наклонных асимптот нет.

      Если предел (4) существует и равен некоторому числу предел (4) существует и равен некоторому числу, то, обозначив это число буквой   b ,

делаем вывод о том, что прямая

y = kx + b

является наклонной асимптотой графика функции   y = f (x)   при .

      Пример 5. Найти асимптоты графика функции

(5)

и построить график этой функции.

      Решение. Функция (5) определена для всех и вертикальных асимптот не имеет.

      Найдем наклонные асимптоты графика функции (5). При получаем

      Отсюда вытекает, что прямая

y = x

– наклонная асимптота графика функции (5) при .

      При получаем

      Отсюда вытекает, что прямая

y = – x

– наклонная асимптота графика функции (5) при .

      Функция (5) является четной функцией, поэтому ее график симметричен относительно оси ординат.

      Найдем производную функции (5):

..

      Итак,   y' > 0   при   x > 0 ,   y' 

Источник: https://www.resolventa.ru/spr/matan/asymptote.htm

Асимптоты графика функций: их виды, примеры решений

АСИМПТОТА

Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.

Понятие асимптоты

Если предварительно построить асимптоты кривой, то многих случаях построение графика функции облегчается.

Судьба асимптоты полна трагизма. Представьте себе, каково это: всю жизнь двигаться по прямой к заветной цели, подойти к ней максимально близко, но так и не достигнуть её.

Например, стремиться соединить свой жизненный путь с путём желанного человека, в какой-то момент приблизиться к нему почти вплотную, но даже не коснуться его. Или стремиться заработать миллиард, но до достижения этой цели и записи в книгу рекордов Гиннеса для своего случая не достаёт сотых долей цента. И тому подобное.

Так и с асимптотой: она постоянно стремится достигнуть кривой графика функции, приближается к нему на минимальное возможное расстояние, но так и не касается его.

Определение 1. Асимптотами называются такие прямые, к которым сколь угодно близко приближается график функции, когда переменная стремится к плюс бесконечности или к минус бесконечности.

Определение 2. Прямая называется асимптотой графика функции, если расстояние от переменной точки М графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки М от начала координат по какой-либо ветви графика функции.

Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.

Первое, что нужно узнать о вертикальных асимптотах: они параллельны оси Oy.

Определение. Прямая x = a является вертикальной асимптотой графика функции, если точка x = a является точкой разрыва второго рода для этой функции.

Из определения следует, что прямая x = a является вертикальной асимптотой графика функции f(x), если выполняется хотя бы одно из условий:

  • (предел функции при значении аргумента, стремящимся к некоторому значению a слева, равен плюс или минус бесконечности)
  • (предел функции при значении аргумента, стремящимся к некоторому значению a справа, равен плюс или минус бесконечности).

При этом функция f(x) может быть вообще не определена соответственно при x ≥ a и x ≤ a.

Замечание:

  • символом обозначается стремление x к a справа, причём x остаётся больше a;
  • символом обозначается стремление x к a слева, причём x остаётся меньше a.

Из сказанного следует, что вертикальные асимптоты графика функции можно искать не только в точках разрыва, но и на границах области определения. График функции, непрерывной на всей числовой прямой, вертикальных асимптот не имеет.

Пример 1. График функции y=lnx имеет вертикальную асимптоту x = 0 (т.е. совпадающую с осью Oy) на границе области определения, так как предел функции при стремлении икса к нулю справа равен минус бесконечности:

(рис. сверху).

Пример 2. Найти асимптоты графика функции .

Пример 3. Найти асимптоты графика функции

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

Первое, что нужно узнать о горизонтальных асимптотах: они параллельны оси Ox.

Если (предел функции при стремлении аргумента к плюс или минус бесконечности равен некоторому значению b), то y = b – горизонтальная асимптота кривой y = f(x) (правая при иксе, стремящимся к плюс бесконечности, левая при иксе, стремящимся к минус бесконечности, и двусторонняя, если пределы при стремлении икса к плюс или минус бесконечности равны).

Пример 5. График функции

при a > 1 имеет левую горизонтальную асимпототу y = 0 (т.е. совпадающую с осью Ox), так как предел функции при стремлении «икса» к минус бесконечности равен нулю:

Правой горизонтальной асимптоты у кривой нет, поскольку предел функции при стремлении «икса» к плюс бесконечности равен бесконечности:

Найти асимптоты графика функции самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 12. Найти асимптоты графика функции .

Правильное решение и ответ.

Пример 13. Найти асимптоты графика функции .

Правильное решение и ответ.

Пройти тест по теме Производная, дифференциал и их применение

Весь блок «Производная»

Источник: https://function-x.ru/derivative4.html

5.5. Асимптоты графика функции

АСИМПТОТА

Построение графикафункции значительно облегчается, еслизнать его асимптоты.

Определение.

Асимптотойкривой называется прямая, расстояниедо которой от точки, лежащей на кривой,стремится к нулю при неограниченномудалении от начала координат этой точкипо кривой (рис.5.10).

Асимптоты бываютвертикальные (параллельные оси Оу),горизонтальные (параллельные оси Ох)и наклонные.

Рис. 5.10

5.6. Общая схема исследования функции и построение графика

В предыдущихпараграфах было показано, как с помощьюпроизводных двух первых порядковизучаются общие свойства функции.Пользуясь результатами этого изучения,можно составить представление о характерефункции и, в частности, построить ееграфик.

Исследованиефункции целесообразно проводить по следующейсхеме.

  1. Найти область определения функции.

  2. Исследовать функцию на четность и нечетность.

  3. Исследовать функцию на периодичность.

  4. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

  5. Найти интервалы знакопостоянства функции (интервалы, на которых или).

  6. Найти асимптоты графика функции.

  7. Найти интервалы монотонности и точки экстремума функции.

  8. Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции.

  9. Построить график функции.

Пример

Исследовать функциюи построить ее график.

  1. Область определения функции .

  2. Функция нечетная: . График функции симметричен относительно начала координат

  3. Функция непериодическая.

  4. Точки пересечения с осями координат:

С осью Оу:,точка.

С осью Ох:,,,.

  1. Точки ,иразбивают осьОх на четыре интервала.

при ;

при ;

при ;

при .

  1. Так как функция является непрерывной, то ее график не имеет вертикальных асимптот.

.

Наклонной игоризонтальной асимптот нет.

  1. ,

,,− критические точки.

для «↑»,

для «↓»,

для «↑».

Сведем данные втаблицу.

х

-1

1

+

0

0

+

(возрастает)

mах

2

(убывает)

min

-2

(возрастает)

,;

точка − максимум;

точка − минимум.

  1. , ,,.

при «»;

при «».

х

0

0

+

(выпуклый)

0

(точка перегиба)

(вогнутый)

Точка − точка перегиба.

  1. График функции (рис.5.12)

Рис. 5.12

Источник: https://studfile.net/preview/5674582/page:3/

Все термины
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: